Плотность вероятности Probability density function | |
Функция распределения Cumulative distribution function | |
Параметры | - интенсивность или обратный коэффициент масштаба |
Носитель | |
Плотность вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | |
Медиана | |
Мода | |
Дисперсия | |
Коэффициент асимметрии | |
Коэффициент эксцесса | |
Информационная энтропия | |
Производящая функция моментов | |
Характеристическая функция |
Показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.
Определение[]
Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром , если её плотность имеет вид
- .
Иногда семейство экспоненциальных распределений параметризуют обратным параметром :
- .
Оба способа одинаково естественны, и необходима лишь договорённость, какой из них используется.
Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно . Сам параметр тогда может быть интерпретирован, как среднее число новых покупателей за единицу времени.
В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины задана первым уравнением, и будем писать: .
Функция распределения[]
Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:
Моменты[]
Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:
- ,
откуда получаем все моменты:
- .
В частности,
- ,
- .
Отсутствие памяти[]
Пусть . Тогда .
Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.
Связь с другими распределениями[]
- Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть независимые случайные величины, и . Тогда
- .
- Экспоненциальное распределение является частным случаем Гамма распределения:
- .
- Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет Гамма распределение. Пусть независимые случайные величины, и . Тогда
- .
- Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть . Тогда
- .
- Экспоненциальное распределение с параметром — это частный случай распределения хи-квадрат:
- .
|
править |
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Экспоненциальное распределение. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .