Число

см. также: Число (лингвистика)

Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие.

Основные виды чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается $\mathbb{N}$. Т.о. $\mathbb{N}=\left\{1, 2, 3, ...\right\}$ (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть $\mathbb{N}=\left\{0, 1, 2, 3, ...\right\}$). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются $\mathbb{Z}=\left\{...-2, -1, 0, 1, 2, ...\right\}$. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представимы в виде дроби m/n (n≠0), где m и n — целые числа. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак $\mathbb{Q}$.

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается $\R$. Кроме рациональных чисел, $\R$ включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа $\mathbb{C}$, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде $z = x + iy$, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2=-1$. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. Множество кватернионов обозначается $\mathbb{H}$. Кватернионы в отличии от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.

В свою очередь октавы $\mathbb{O}$, являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.

В отличае от октав, седенионы $\mathbb{S}$ не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной асоциативности.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S}$

Представление чисел в памяти компьютера

подробнее см. Прямой код, Дополнительный код (представление числа), Число с плавающей запятой

Для представления целого положительного числа х в памяти компьютера, оно переводится в двоичную систему счисления. Полученное число в двоичной системе счисления х₂ представляет собой машинную запись соответствующего десятичного числа х₁₀. Для записи отрицательных чисел используется т. н. дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление действительных чисел в памяти компьютера (в вычислительной технике для их обозначения используется термин число с плавающей запятой) имеет некоторые ограничения связанные с используемой системой счисления, а также, ограниченностью объёма памяти выделяемого под числа. Так, лишь некоторые из действительных чисел могут быть без потерь точности представлены в памяти компьютера. В наиболее распространённой схеме число с плавающей запятой записывается в виде блока битов часть из которых представляют собой мантиссу числа, часть — степень, а один бит выделяется для представления знака числа (в случае необходимости знаковый бит может отсутствовать).

См. также

• Числа
• Числа с собственными именами
• Системы наименования чисел
• Обратное число
• Системы счисления

Литература

• А. А. Кириллов, Что такое число?, выпуск 4 серии «Современная математика для студентов», М., Физматлит, 1993.
• Л. С. Понтрягин, Обобщения чисел, серия «Математическая библиотечка» М., Наука, 1965.
• Л. Я. Жмудь. «Все есть число»? (К интерпретации «основной доктрины» пифагореизма) // Mathesis. Из истории античной науки и философии. М., 1991, с. 55-74.
• И. В. Карасев, "Тайны квадрата Пифагора («Вначале было число»)

Ссылки

• vokrugsveta.ru Какое число самое большое?

ar:عدد ast:Númberu az:Ədəd be-x-old:Лік bg:Число bn:সংখ্যা br:Niver ca:Nombre cs:Číslo da:Tal de:Zahl el:Αριθμός en:Number eo:Nombro es:Número et:Arv eu:Zenbaki fa:عدد fi:Luku fo:Tal fr:Nombre fy:Getal gd:Àireamh gl:Número he:מספר hi:अंक hr:Broj ht:Nonm hu:Szám ia:Numero id:Bilangan io:Nombro is:Tala it:Numero ja:数 ka:რიცხვი kk:Сан kab:Amḍan kn:ಸಂಖ್ಯೆ ko:수 (수학) ku:Hejmar la:Numerus ln:Motángo lt:Skaičius mg:Isa mk:Број ml:സംഖ്യ nah:Tlapōhualli nl:Getal nn:Tal no:Tall nov:Nombre nrm:Neunmétho oc:Nombre pl:Liczba pt:Número qu:Yupay ro:Număr scn:Nùmmuru sh:Broj simple:Number sk:Číslo (matematika) sl:Število sr:Број su:Wilangan sv:Tal (matematik) ta:எண் te:సంఖ్య th:จำนวน tr:Sayı uk:Число vi:Số (toán học) yo:Nọ́mbà zh:数 (数学) zh-min-nan:Sò͘-ba̍k