Функция (математика)

В данной статье приведено определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.

В математике функция или отображе́ние — это упорядоченная тройка множеств $F = (f, X, Y)$, обладающая следующими свойствами:

• $f \subseteq X \times Y$
• $\forall (x, y) \in f, \forall (x', y') \in f , x = x' \rightarrow y = y'$

Общепринятые обозначения:

• $F:\ X \to Y$ или $X\to^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} Y$ для отображения $F$ множества $X$ в множество $Y$.
• $y=F(x)$ или $F:x \mapsto y$ или $x \mapsto^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} y$.

Множество $X$ называется о́бластью определе́ния отображения $F$ (обозначается D(f), или D(y), или dom f.).

Множество $Y$ называется о́бластью значе́ний отображения $F$.(обозначается E(f), или E(y), или cod f).

Интуитивное определение

Пусть $X$ и $Y$ — два множества. Закон $f$, согласно которому каждому элементу $x \in X$ поставлен в соответствие единственный элемент $y \in Y$, называется отображением множества $X$ в множество $Y$ или функцией, заданной на $X$ со значениями в $Y$.

Связанные определения

• Пусть дано отображение $F: X \to Y$, и $M \subset X$. Тогда суже́нием функции $F$ на $M$ называется функция $\left.F\right\vert_{M}:M \to Y$, определяемая равенством

  $\left.F\right\vert_{M}(x) = F(x),\; \forall x\in M$.

Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

• Пусть $M \subset X$. Тогда о́бразом множества $M$ называется подмножество $Y$, определяемое равенством

  $F(M) = \{ F(x) \mid x \in M \}$.

Множество $\ F(X)$ называется образом отображения $\ F$ и обозначается $\operatorname{Im}\,F$.

• Пусть задано отображение $F: X \to Y$, $x\in X, \;y\in Y$ и $y=F(x)$. Тогда $x$ называется проо́бразом $y$, а $y$ называется о́бразом $x$. Согласно определению отображения, каждый элемент $x \in X$ должен иметь ровно один образ, но элемент $y \in Y$ может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.
  • Например, пусть дана функция $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, где $F(x) = x^2$. Тогда

    $y=-1$ не имеет прообразов;

    $y=0$ имеет единственный прообраз $x = 0$;

    $y=1$ имеет два прообраза: $x_1=1$ и $x_2 = -1$.

• Пусть задано отображение $F: X \to Y$, и $y \in Y$. Тогда множество $\{x\in X \mid F(x) = y\} \subset X$ называется по́лным проо́бразом элемента $y$. Полный прообраз обозначается $F^{-1}(y)$.
  • Например, пусть $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, и $F(x) = \sin x$. Тогда

    $F^{-1}(1) = \left\{{\pi \over 2}+2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$.

• Пусть $N \subset Y$. Тогда проо́бразом множества $N$ называется подмножество $X$, определяемое равенством

  $F^{-1}(N) = \{ x \in X \mid F(x) \in N \}$.

  • Например, пусть $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, и $F(x) = \cos x$. Тогда

    $F\left(\left[0, {\pi \over 2}\right]\right) = [0, 1]$,

    $F^{-1}([0,1]) = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} \left[-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+ 2\pi n\right]$.

Свойства

Свойства прообразов и образов

• $F^{-1}(A \cup B) = F^{-1}(A) \cup F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y$;
• $F^{-1}(A \cap B) = F^{-1}(A) \cap F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y$;
• $F(A \cup B) = F(A) \cup F(B),\; \forall A,B \subset X$;
• $F(A \cap B) \subset F(A) \cap F(B), \; \forall A,B \subset X$. Заметим отсутствие равенства в этом случае.

Классы функций

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств $X$ и $Y$. Если $X$ и $Y$ — числовые множества, такие, как $\R$ или $\mathbb{C}$, то отображение называют функцией. Если $X$ или $Y$ многомерны, например, $\R^n$ или $\C^n$, то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если $X$ — произвольной природы, а $Y$ — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества $X_1, X_2, \ldots , X_n$ и множество $Y$, тогда упорядоченное множество всех кортежей $f=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},y)\right\}$ называется функцией $n$ аргументов тогда и только тогда, когда для любых $(x_{1}',x_{2}',\ldots,x_{n}',y')\in f$ и $(x_{1}'',x_{2}'',\ldots,x_{n}'',y'')\in f$ из $y'\neq y''$ следует, что $x_{n}' \neq x_{n}',\forall x\in [1,n]\cap\mathbb{Z}$.

См. также

• Композиция функций
• Сюръективность
• Инъективность
• Биективность

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия». 1995.

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Функция (математика). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---