Virtual Laboratory Wiki
Advertisement

Кумуляти́вная фу́нкция распределе́ния (или просто функция распределения) в теории вероятностей однозначно задаёт распределение случайной величины или случайного вектора.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой:

.

Свойства

  • Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.
    • Верно и обратное: если функция удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что является её функцией распределения.
  • По определению непрерывности справа, функция имеет правый предел в любой точке , и он совпадает со значением функции в этой точке.
    • В силу неубывания, функция также имеет и левый предел в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Тождества

Из свойств вероятности следует, что , таких что :

  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • .

Дискретные распределения

Если случайная величина дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

,

то функция распределения этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

.

Эта функция непрерывна в любой точке , такой что , и имеет разрыв, равный , в .

Непрерывные распределения

Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае:

,

и

,

а следовательно формулы имеют вид:

,

где означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения

Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция , такая что:

.

Функция называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и более того если , то , и

.

Вариации и обобщения

Многомерные функции распределения

Пусть фиксированное вероятностное пространство, и — случайный вектор. Тогда распределение является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:

,

где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для .

См. также



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Функция распределения. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Advertisement