Функция Морса

Функция Морса ― гладкая функция на многообразии, обладающая некоторыми специальными свойствами. Функции Морса возникают и используются в теории Морса.

Определение

Пусть $W$ ― гладкое гильбертово полное (относительно некоторой римановой метрики) многообразие (например, конечномерное), край которого $\partial W$ является дизъюнктным объединением (возможно, пустых) многообразий $F_0$ и $F_1$. Функция Морса триады $(W; F_0,F_1)$ ― такая гладкая (класса $C^{2}$ по Фреше) функция $f: W\to [a, b]$, $-\infty <a, b<+\infty$ (или $f: W\to[a,\infty]$) при $F_1=\emptyset$, что:

1. $F_0=f^{-1}(a), F_1=f^{-1}(b)$
2. все критические точки функции $f$ лежат в $W\backslash\partial W = f^{-1}(a,b)$ и невырождены;
3. (условие C Пале ― Смейла) на любом замкнутом множестве $K\subset W$, где функция $f$ ограничена, а нижняя грань функции $|df (x)|$ равна нулю, существует критическая точка функции $f$.

Например, если функция $f$ собственная, то есть все множества $f^{-1}([c,d])$, $[c,d]\subset[a,b]$, компактны (что возможно только при $dim W<\infty$), то $f$ удовлетворяет условию С. Функция Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности многообразия $W$.

Если многообразие $W$ конечномерно, то для $k \geq 2$ множество функция Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связ класса $C^k$ является множеством 2-й категории (а если $W$ компактно, то даже плотным открытым множеством) в пространстве всех функций

$f:(W,F_0,F_1)\to ([a,b],a,b)$

в $C^k$-топологии.

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Функция Морса. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---