Функциональный анализ — это раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения. Например - пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют такие понятия, как мера, метрика, норма, скалярное произведение. Для рассмотрения отображений пространств вводятся такие термины, как "оператор" и "функционал".
История[]
Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений. Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах.
Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).
В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет-преобразованиям. Эта тема пришла из практики, как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши.
Ключевые результаты[]
- Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха — Штейнгауза) применимый к набору операторов с точной границей.
- Теорема Хана — Банаха о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых пространствах.
- Теорема Банаха об ограниченности линейного оператора, обратного биективному линейному ограниченному оператору. Как её следствие - теорема о замкнутом графике.
- Одна из спектральных теорем (которых в действительности больше чем одна) дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве. Это теорема центральной важности для математического обоснования квантовой механики.
Направление исследований[]
Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие тенденции:
- Мягкий анализ. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
- Геометрия Банаховых пространств. Комбинаторный подход первоначально предложеный Джин Бургейн (Jean Bourgain).
- Некоммутативная геометрия. Разработанная Алэном Конном (Alain Connes), частично построенная на более ранних представлениях, таких как аппроксимация Джоржа Макки (George Mackey) в эргодической теории.
- Связь с квантовой механикой. Также более узко определённая как в математической физике, или истолкованное более обще, например Гельфандом, включается в более типичную теорию изображений.
Литература[]
- А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1972
- Л. А. Люстерник, В. В. Соболев Элементы функционального анализа
- У. Рудин Функциональный анализ
- С. Банах Теория линейных операций
- Б. Саймон Методы современной математической физики - Функциональный анализ (том 1)
- И. П. Натансон Теория функций вещественной переменной
- Хуршед И. Нурматов Вариационное исчисление и интегральные уравнения
|
Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Функциональный анализ. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .