Формула Остроградского

Теорема Остроградского — Гаусса — утверждение интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающее связь между $n$-кратным интегралом по области и $(n-1)$-кратным интегралом по её границе. Пусть $V=(v_1,v_2,...,v_n)$ есть векторное поле на Rⁿ, такое что функции $v_i$ вместе со своими частными производными $\partial v_i/ \partial x_j$ интегрируемы по Лебегу в ограниченной области $\Omega$, граница $\partial\Omega$ которой является объединением конечного множества кусочно гладких $(n-1)$-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней единичной нормали $\nu$.

Тогда формула Остроградского имеет вид

$\int \limits _{\Omega }\operatorname {div} V=\int \limits _{\partial \Omega }\langle \nu ,V\rangle$

где

$\operatorname{div} V=\sum_{i=1}^n\frac{\partial v_i}{\partial x_i}$

есть дивергенция поля $V$.

---

Формула Остроградского — Гаусса в векторной форме имеет вид

$\iiint \limits _{T}\mathrm {div} \mathbf {F} dV=\iint \limits _{S}\mathbf {Fn} dS$,

то есть интеграл от дивергенции векторного поля ${\mathbf {F} }$, распространённый по некоторому объёму $T$, равен потоку вектора через поверхность $S$, ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по поверхности, ограничивающей данный объём, то есть замкнутых, таких как поверхность воздушного шарика, и не применима к поверхностям, таким как воздушный шар с подогревом.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде,

$\int \left({\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}\right)\omega =\int (P\cos \lambda +Q\cos \mu +R\cos \nu )s$,

где $\omega$ и $s$ дифференциалы объёма и поверхности. В современной записи $\omega =d\Omega$ — элемент объема, $s=dS$ — элемент поверхности. $P=P(x,y,z),\,Q=Q(x,y,z),\,R=R(x,y,z)$ — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

История

Для гладких функций эта формула была впервые получена в трёхмерном случае Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). На $n$-мерный случай была обобщена им же в 1834 (опубликовано в 1838). С помощью этой формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от $n$-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации $n$-кратного интеграла. При $n = 3$ для одного частного случая формула Остроградского была получена Гауссом в 1813, поэтому иногда она называется также формулой Остроградского — Гаусса. Что интересно, в западной литературе порядок фамилий изменён — она именуется как «теорема Гаусса — Остроградского». Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

Литература

• Остроградский М. В., Note sur les integrales definies. Mem. 1’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В., Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. Mem. 1’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838)

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Формула Остроградского. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---