Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Определение

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ — фиксированное вероятностное пространство. Пусть $A,B \in \mathcal{F}$ суть два случайных события, причём $\mathbb{P}(B)>0$. Тогда условной вероятностью события $A$ при условии события $B$ называется

$\mathbb {P} (A\mid B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}$.

Замечания

• Прямо из определения очевидно следует, что

$\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A\mid B)\mathbb {P} (B)$.

• Если $\mathbb {P} (B)=0$, то понятие «условная вероятность» не имеет смысла (так как событие B невозможно, а значит, и невозможно утверждать, что оно произошло). Тем не менее иногда уславливаются считать её в этом случае равной нулю.
• Условная вероятность является вероятностью, то есть функция $\mathbb {Q} :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$, заданная формулой

$\mathbb {Q} (A)=\mathbb {P} (A\mid B),\;\forall A\in {\mathcal {F}}$,

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

Пример

Если $A, B$ — несовместимые события, то есть $A \cap B = \varnothing$ и $\mathbb {P} (A)>0,\;\mathbb {P} (B)>0$, то

$\mathbb {P} (A\mid B)=0$

и

$\mathbb {P} (B\mid A)=0$.

См. также

• Вероятность
• Независимость
• Условное математическое ожидание
• Формула полной вероятности
• Теорема Байеса
• Парадокс Монти Холла

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Условная вероятность. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---