Virtual Laboratory Wiki
Advertisement
Классическая электродинамика
Solenoid.svg
Магнитное поле соленоида
Электричество · Магнетизм
ПросмотрОбсуждениеПравить

Уравнения Максвелла — основные уравнения классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. Уравнения были опубликованы Дж. К. Максвеллом в 1873 году в его книге «Трактат об электричестве и магнетизме».

Уравнения в классическом виде

Уравнения в системе СИ

Название Дифференциальная форма Интегральная форма Примерное словесное выражение
Закон индукции Фарадея Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле
Закон Ампера
(с добавкой от Максвелла)
Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
Теорема Гаусса Электрический заряд является источником электрической индукции
Теорема Гаусса Магнитная индукция не расходится (не имеет источников). (Неприменима к монополям. До сих пор монополей в природе не обнаружено.)

Приведенные выше уравнения Максвелла не составляют еще полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойства среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины , , , и , в которых учитываются индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Введённые обозначения:

  •  — дифференциальный оператор ротора
  •  — дифференциальный оператор дивергенции
  •  — замкнутая двумерная поверхность
  •  — замкнутый контур

Уравнения в Гауссовой системе единиц

Материальные уравнения

Чтобы дополнить уравнения Максвелла до полной системы уравнений электродинамики, необходимо получить материальные уравнения, которые связывают величины , , , , и в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагничивания и электропроводности среды. В основе таких теорий лежат в той или иной степени идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами , , с одной стороны и , с другой стороны. В случае слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени, а также для изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред материальные уравнения записываются в виде:

где  — диэлектрическая проницаемость (в единицах СИ — Ф/м),  — магнитная проницаемость (в единицах СИ — Гн/м) и  — электропроводность среды (в единицах СИ — 1/(Ом·м)).

В вакууме, без зарядов и токов

Вакуум — это линейная, однородная, изотропная, бездисперсионная среда; и магнитная, и электрическая постоянные обозначаются через и (не учитывая очень малых квантовых эффектов).

Уравнения Максвелла для вакуума без электрических зарядов и токов такие:


Эта система дифференциальных уравнений имеет простое решение — гармоническая, плоская волна. Векторы электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны и друг другу, и находятся в фазе. Волна распространяется со скоростью:

Максвелл обозначил эту величину . Это просто скорость света в вакууме, а свет — это вид электромагнитного излучения. Общепринятые значения[1] скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в следующей таблице:

Символ Имя Численное значение Единицы измерения СИ Тип
Постоянная скорости света м/с LT−1
Электрическая постоянная Ф / м L−3M−1T4
Магнитная постоянная Гн / м LMT−2I−2

Релятивистская инвариантность

Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности. В ковариантной форме уравнения приобретают вид (в системе единиц СГС):

,

где  — 4-ток, а  — антисимметричный тензор электромагнитного поля:


Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм

В вакууме и  — константы. Для записи уравнений Максвелла проще использовать язык дифференциальных геометрии и форм. Электромагнитное поле — это 2-форма в четырёхмерном многообразии пространства-времени. Уравнения Максвелла сожмутся до второй формулы Бианчи

где  — это ковариантная производная — дифференциальный оператор действующий на формы и уравнения источников

,

где звезда Ходжа  — это дуальный оператор Ходжа линейного преобразования из пространства 2-формы в дуальное пространство форм в метрике пространства Минковского и системе СГС, где . 3-форма называется «электрический ток» или токовая 3-форма, удовлетворяющая уравнению непрерывности

.

Внешняя ковариантная производная определена на любых многообразиях. Это формальное описание электромагнетизма подходит для четырёхмерных многообразий с метрикой Лоренца, что эквивалентно криволинейному пространству-времени Общей теории относительности.

В линейной макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается через более общее линейное преобразования пространства 2-форм.

Это называется линейное приближение или материальные уравнения. Это преобразование совместимо с дуальным преобразованием Ходжа. Уравнения Максвелла с учётом среды такие:

где ток удовлетворяет уравнению непрерывности . Где поле — это внешнее дифференцирование (или линейная комбинация) базисных форм ,

для материальной среды

причём коэффициенты поля антисимметричны относительно индексов, а материальные коэффициенты антисимметричны относительно перестановок пар. Тогда дуальное преобразование Ходжа примет следующий вид

только для инвариантного тензора данного типа с определённой метрикой.


Примечания

Литература

  • Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983.
  • Тоннела М.-А. Основы электромагнетизма и теории относительности. Пер. с фр. М.: Иностранная литература, 1962. 488 с.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
  • Фущич В. И., Никитин А. Г., Симметрия уравнений Максвелла. Киев: Наук. думка, 1983. 200 с.

См. также


af:Maxwell se vergelykings ar:معادلات ماكسويل bg:Уравнения на Максуел bn:ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণসমূহ ca:Equacions de Maxwell cs:Maxwellovy rovnice da:Maxwells ligninger de:Maxwellsche Gleichungen el:Εξισώσεις Μάξγουελ en:Maxwell's equations eo:Ekvacioj de Maxwell es:Ecuaciones de Maxwell eu:Maxwellen ekuazioak fa:معادلات ماکسول fi:Maxwellin yhtälöt fr:Équations de Maxwell gl:Ecuacións de Maxwell he:משוואות מקסוול hi:मैक्सवेल के समीकरण hr:Maxwellove jednadžbe hu:Maxwell-egyenletek id:Persamaan Maxwell is:Jöfnur Maxwells it:Equazioni di Maxwell ja:マクスウェルの方程式 ko:맥스웰 방정식 la:Aequationes Maxwellianae lt:Maksvelo lygtys lv:Integrālie Maksvela vienādojumi nl:Wetten van Maxwell nn:Maxwells likningar no:Maxwells likninger pl:Równania Maxwella pt:Equações de Maxwell ro:Ecuaţiile lui Maxwell simple:Maxwell's equations sk:Maxwellove rovnice sl:Maxwellove enačbe sq:Ekuacionet e Maksuellit sr:Максвелове једначине sv:Maxwells ekvationer th:สมการของแมกซ์เวลล์ tr:Maxwell denklemleri uk:Основні рівняння електродинаміки vi:Phương trình Maxwell zh:麦克斯韦方程组

Advertisement