Туннельный эффект

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение ... Математическая формулировка ... Основа Классическая механика · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Волновая функция · Суперпозиция · Запутанность · Измерение · Неопределённость · Запрет Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннелирование Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга ·Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Картина Шрёдингера · Картина Гейзенберга · Картина взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака Интерпретации Копенгагенская интерпретация · Теория скрытых параметров · Многомировая Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг· Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

Туннельный эффект, туннелирование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление исключительно квантовой природы, невозможное в классической механике; аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. Явление туннелирования лежит в основе многих важных процессов в атомной и молекулярной физике, в физике атомного ядра, твёрдого тела и т. д.

Отражение и туннелирование электронного пучка, направленного на потенциальный барьер. Слабое пятно справа от барьера - электроны, прошедшие сквозь барьер. Обратите внимание на интерференцию между падающими и отражающимися волнами.

Краткое квантовомеханическое описание

Согласно классической механике, частица может находиться лишь в тех точках пространства, в которых ее потенциальная энергия меньше полной. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы $~{E_{\rm{kin}}}={\frac{p^2}{2m}}={E}-{U_{\rm{pot}}}$ не может (в классич. физике) быть отрицательной, т.к. в таком случае импульс будет мнимой величиной. То есть если две области пространства разделены потенциальным барьером, таким, что $~{U_{\rm{pot}}}>{E}$, просачивание частицы сквозь него в рамках классической теории оказывается невозможным. В квантовой же механике мнимое значение импульса лишь соответствует экспоненциальной зависимости волновой функции от координаты. Это видно из уравнения Шредингера с постоянным потенциалом (для простоты возьмем одномерный случай):

$~{\frac{{{\rm{d}}^2}{\psi}}{{{\rm{d}}{x}}^2}}+{\frac{2m}{{\hbar}^2}}{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}{\psi}=0$

($~x~-$ координата; $~E~-$ полная энергия, $~U_{\rm{pot}}~-$ потенциальная энергия, $~{\hbar~-}$ редуцированная постоянная Планка, $~m~-$ масса частицы), решением которого является функция

$~{\psi}=A \exp{ \left( ix{\frac{\sqrt{2m{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}}}{\hbar}} \right)}+B \exp{ \left( -ix{\frac{\sqrt{2m{ \left( {E}-{U_{\rm{pot}}} \right)}}}{\hbar}} \right)}$

Пусть имеется движущаяся частица, на пути которой встречается потенциальный барьер высотой $~U_0$, а потенциал частицы до и после прохождения равен нулю.

Для областей $~I$ (до прохождения), $~II$ (во время прохождения внутри потенциального барьера) и $~III$ (после прохождения барьера) (начало барьера совпадает с началом координат; его "ширина" равна $~a$) получаем соответственно функции

$~{{\psi}_{I}}={A_1} \exp{ \left( ikx \right) }+{B_1} \exp{ \left( -ikx \right) }$

$~{{\psi}_{II}}={A_2} \exp{ \left( -{\chi}x \right) }+{B_2} \exp{ \left( {\chi}x \right)}$

$~{{\psi}_{III}}={A_3} \exp{ \left( ik(x-a) \right) }+{B_3} \exp{ \left( -ik(x-a) \right) }$

Так как слагаемое $~{B_3} \exp{-ik(x-a)}$ характеризует отраженную волну, идущую из бесконечности, которая в данном случае отсутствует, нужно положить $~{B_3}=0$. Для характеристики величины туннельного эффекта введем коэффициент прозрачности барьера, равный модулю отношения плотности потока прошедших частиц к плотности потока упавших:

$~D={\frac{{\mathcal{j}}{j_{III}}{\mathcal{j}}}{{\mathcal{j}}{j_{I}}{\mathcal{j}}}}$

Для определения потока частиц воспользуемся формулой

$~{j}={\frac{i{\hbar}e}{2m}}{ \left( {\frac{{\partial}{{\psi}^*}}{{\partial}x}}{\psi}-{\frac{{\partial}{\psi}}{{\partial}x}}{{\psi}^*} \right)}$

где знак звездочки обозначает комплексное сопряжение.

Подставляя в эту формулу волновые функции, указанные выше, получим

$~{D}={\frac{{{\mathcal{j}}{A_3}{\mathcal{j}}}^2}{{{\mathcal{j}}{A_1}{\mathcal{j}}}^2}}$

Теперь, воспользовавшись граничными условиями, выразим сначала $~A_2$ и $~B_2$ через $~A_3$ (с учетом, что $~{\chi}a~{\gg}~1$:

$~{A_2}={\frac{1-in}{2}}{A_3}{\exp{ \left( {\chi}a \right) }}~,~~~~~~{B_2}={\frac{1+in}{2}}{A_3}{\exp{ \left( -{\chi}a \right) }}~{\approx}~0$

$~n={\frac{\chi}{a}}={\sqrt{\frac{E}{{U_0}-E}}}$

а затем $~A_1$ через $~A_3$:

$~{A_1}={\frac{{ \left( 1-in \right) }{ \left( 1+{\frac{i}{n}} \right) }}{4}}{\exp{ \left( {\chi}a \right) }}{A_3}$

Введем величину

$~{D_0}={\frac{16{n^2}}{{ \left( 1+{n^2} \right) }^2}}$

которая будет порядка единицы. Тогда:

$~D~{\cong}~{D_0}{\exp{ \left( -{\frac{2a{\sqrt{2m{ \left( {U_0}-E \right) }}}}{\hbar}} \right) }}$

Для потенциального барьера произвольной формы делаем замену

$~{\frac{2a{\sqrt{2m{ \left( {U_0}-E \right) }}}}{\hbar}}~{\Rrightarrow}~{\frac{2}{\hbar}}{\int\limits_{x_1}^{x_2} {{\sqrt{2m{ \left( {U(x)}-E \right) }}}}\, {\rm{d}}x}$

где $~x_1$ и $~x_2$ находятся из условия

$~{U(x_1)}={U(x_2)}=E$

Тогда для коэффициента прохождения через барьер получаем выражение

$~D~{\cong}~{D_0}{\exp{ \left( -{\frac{2}{\hbar}}{\int\limits_{x_1}^{x_2} {{\sqrt{2m{ \left( {U(x)}-E \right) }}}}\, {\rm{d}}x} \right) }}$

Упрощённое объяснение

Схема, поясняющая квантовый туннельный эффект на примере классического движения. По аналогии с гравитацией объект стремится "вниз" (от высокого уровня потенциальной энергии к низкому). Обычно для перехода в состояние с более низкой энергией необходима энергия извне. Однако согласно законам квантовой механики объект может образовать туннель в низкоэнергетичное состояние.

Альтернативная схема, поясняющая туннельный эффект. Строго говоря, данный упрощенный пример слева, грешит неточностями в угоду наглядности, а именно: в рамках классическй механники потенциальная энергия тела на высоте h от поверхности зависит не от его высоты над уровнем моря, а от высоты над самой поверхностью. В связи с этим, предлагаю использовать в качестве абстракции некоторое тело (к примеру кирпич), на высоте h над поверхностью земли ДО возвышения, и это же тело на меньшей высоте h1 над поверхностью земли. Эта абстракция создает меньше ложных убеждений.

Рассмотрим объект (например, машину), перемещающийся по склону холма вверх. Для большей наглядности не будем учитывать никаких сил, которые действуют на объект, кроме гравитации (притяжения Земли). Объект машина находится на высоте 500 м над уровнем моря, макушка горы - на высоте 1000 м, а равнина за горой - ниже уровня моря. Все объекты вселенной стремятся к низкому уровню потенциальной энергии, ученые называют это высоким уровнем энтропии. Согласно этому принципу машина стремится занять настолько низкий энергетический уровень, насколько возможно. Согласно классической механике, для того чтобы оказаться на равнине с более низкой энергией, машина не может обойтись без работы двигателя, т.е. без дополнительной затраты энергии. Однако если существует прямой туннель от машины к равнине , она без дополнительных источников энергии переместится туда.

Примерно такой же эффект можно наблюдать при квантовом туннелировании, при котором некоторая элементарная частица (например фотон или электрон) способна преодолеть потенциальный барьер и достигнуть этим состояния с более низкой (самой низкой из возможных вариантов) потенциальной энергией, без традиционной затраты энергии, которая нужна в подобном случае в макромире. Заметим, что туннелирование - феномен свойственный частицам чрезвычайно малого размера, обычно наблюдается с частицами с размером порядка атомного или меньше, и что при рассмотрении всех сил, действующих на частицу, выражение ее потенциала становится значительно сложнее. Также надо отметить, что частицы не могут совершать обратных перемещений, в которых их энергия увеличивается (без участия некой силы извне). Без внешних влияний - эффект может происходить только в направлении понижения энергии, в соответствии со вторым законом термодинамики.

Макроскопические проявления туннельного эффекта

Туннельный эффект имеет ряд проявлений в макроскопических системах:

• Туннелирование носителей зарядов через потенциальный барьер p-n перехода, получившее практическое применение в туннельном диоде.
• Туннелирование носителей зарядов через тонкую оксидную пленку, имеющую диэлектрические свойства, покрывающую ряд металлов (в частности, алюминия) и обеспечивающее проводимость точек механического соединения проводников (скрутки проводов, зажимы). Применительно к сверхпроводникам это явление получило название эффект Джозефсона.

См. также

• Квантовая механика
• Корпускулярно-волновой дуализм
• Туннельный диод
• Эффект Джозефсона
• Твёрдое тело
• Бета-распад
• Альфа-распад
• К-захват

История и исследователи

В 1928 Георгий Гамов разработал теорию альфа-распада, основанную на туннельном эффекте.

Ссылки

• Туннельный эффект
• Туннельная эмиссия

Литература

1. Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 4 изд., М., 1963;
2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).