Троичная система счисления

Трои́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с целочисленным основанием равным 3. Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.
Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками {A,B,C}, {X,Y,Z}, {!,?,%} и др., но в несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в троичной симметричной системе счисления знак,0,1}, {1,0,1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} и цифры {2,0,1}.

В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду (тр.р.) в троичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикой на входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах.

Троичные коды являются комбинациями трёх элементов и не являются троичной системой счисления, но используется в них, как основа, причём, двоичный код может использоваться для кодирования чисел в системах счисления с любым основанием.

При кодировании алфавитно-цифровых символов (знаков) троичному коду не приписываются весовые коэффициенты, как это делается в системах счисления, в которых троичный код используется для представления чисел, а используется только порядковый номер кода из множества размещений с повторениями.

числовое значение	троичный код
0	00
1	01
2	02
3	10
4	11
5	12
6	20
7	21
8	22

Представление чисел в троичных системах счисления

Несимметричная троичная система счисления

Примером представления чисел в несимметричной троичной системе счисления может служить запись в этой системе целых положительных чисел:

Десятичное число	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Троичное число	0	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101

Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз (разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен), то в троичной системе используются только три цифры и веса соседних разрядов различаются в три раза (разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …). Цифра 1, написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой, обозначает тройку и т.д.

Несимметричная троичная система счисления является частным случаем спаренных (комбинированных) показательных позиционных систем счисления, в которой a_k - из троичного множества a={0,1,2}, b=3, веса разрядов равны 3^k.

Сдвоенные комбинированные системы счисления

В сдвоенных (спаренных, комбинированных) показательных позиционных троичных системах счисления используются две системы счисления:

1. внутриразрядная система счисления с основанием a, числа которой используются для записи цифр и
2. приписная межразрядная система счисления с основанием b.

Целое число в сдвоенной показательной позиционной системе счисления представляется в виде суммы произведений значений в разрядах (цифр) - $\ a_k$ на k-тые степени числа b:

$x_{a,b} = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k$, где:

• k - число от 0 до n-1, номер числового разряда,
• n - число разрядов,
• a - число, основание основной внутриразрядной системы счисления,
• a_k — целые числа из множества a, называемые цифрами,
• b - число, основание межразрядной показательной весовой функции,
  
• b^k - числа межразрядной функции, весовые коэффициенты разрядов.

Каждое произведение $\ a_{k}b^{k}$ в такой записи называется (a,b)-ичным разрядом.

При b=a образуются (a,a)-ичные системы счисления с произведением - a_ka^k и суммой - $\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}a^{k}$, которые при a=3 превращаются в обычную (3,3)-ичную (троичную) систему счисления. При записи первый индекс часто опускается, иногда, когда есть упоминание в тексте, опускается и второй индекс.

Весовой коэффициент разряда - b^k - приписной и, в общем случае, может быть необязательно показательной функцией от номера разряда - k, и необязательно степенью числа 3. Множество значений a_k более ограниченно и более связано с аппаратной частью - числом устойчивых состояний триггеров или числом состояний группы триггеров в одном разряде регистра. В общем случае, a_k могут быть тоже необязательно из троичного множества a={0,1,2}, но, чтобы спаренной системе быть троичной и называться троичной, как минимум, одна из двух систем должна быть троичной. Так как a_k-тые ближе к аппаратной части и по a_k-тым из множества a={0,1,2} или из множества a={-1,0,+1}, а не по b^k мы определяем и относим число x_(a,b) к троичным системам кодирования, то есть бо́льшие основания считать a основным основанием системы счисления, b в таком случае называется основанием вспомогательной системы счисления. Но и это весьма относительно, так как запись числа может быть в одной системе кодирования, а само число может быть в другой системе счисления. Пример: двоично-десятичное кодирование (BCD), в котором числа записываются в двоичном коде, а система счисления - десятичная.

Сдвоенные комбинированные троичные системы счисления

Целое число $\ x$ в сдвоенной (спаренной) позиционной троичной системе записывают в виде последовательности его цифр (строки цифр), перечисляемых слева направо по убыванию старшинства разрядов:

$x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0})_{a,b}.$

В показательных системах счисления значениям разрядов приписываются весовые коэффициенты $b^k$, в записи они опускаются, но подразумевается, что k-тый разряд справа налево имеет весовой коэффициент равный $b^k$.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания показательной функции - b, которое определяет диапазон представляемых числами x_3,b величин, и равно числу размещений с повторениями:
${\bar {A}}(a,n)={\bar {A}}_{a}^{n}=a^{n}=3^{n}$, где:
a=3 - 3-х элементное множество a={0,1,2} из которого берутся цифры a_k, n - число элементов (цифр) в числе x_3,b.

Дробное число записывается и представляется в виде:

$x_{a,b} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m})_{a,b} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k b^k$, где m - число разрядов дробной части сдвоенного (спаренного) позиционного числа справа от запятой,

при m=0 дробная часть отсутствует, число - целое,

при a_k из троичного множества a={0,1,2} и b=1 образуется непозиционная троичная система счисления с одинаковыми весовыми коэффициентами всех разрядов равными 1^k=1,

при a_k из двоичного множества a={0,1} и b=3 в сумме будут только целые степени - 3^k,

при a_k из троичного множества a={0,1,2} и b=3 в сумме будут целые и удвоенные степени 3, система счисления становится обычной несимметричной троичной системой счисления, a_k удовлетворяют неравенству 0<=a_k<=(b-1)<b, т.е. 0<=a_k<=2<3,

при a_k из десятичного множества a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и b=3 в сумме будут целые степени 3 умноженные на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
В некоторых случаях этого может оказаться недостаточно, в таких случаях можно применить стро́енные (комтринированные), счетверённые и другие системы счисления.

Строенные комбинированные троичные системы счисления

В стро́енных (комтринированных) показательных позиционных троичных системах счисления используются три системы счисления. В вес разряда вводится дополнительный член в третьей системе счисления. Например, сомножитель (b/с):

$x_{a,b,c}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b,c}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k}(b/c)$

В общем случае c≠3.
При a_k из a={0,1,2}, b=3 и c=3 образуется обычная несимметричная троичная система счисления.
При a=2, b=3 и c=2 образуется (2,3,2)-ичная система счисления с дополнительным нецелочисленным весовым коэффициентом в произведении равным (3/c)=(3/2)=1,5.
При других значениях a, b и c образуются другие строенные показательные позиционные системы счисления с дополнительным сомножителем (b/c), число которых бесконечно.
Возможны бесконечные множества и других составных систем систем счисления.

Кодирование троичных цифр

Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.
1. Трёхуровневое однопроводное кодирование:
2 - (+1) ;
1 - (0) ;
0 - (-1) .

2. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование 1 (2-Bit Binary Coded Ternary, 2B BCT representation):
2 - (1,0);
1 - (0,1);
0 - (0,0).
3. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование 2:
2 - (1,1);
1 - (0,1);
0 - (0,0).
3. Трёхразрядное одноединичное трёхпроводное кодирование 1 (3-Bit Binary Coded Ternary, 3B BCT representation):
2 - (1,0,0);
1 - (0,1,0);
0 - (0,0,1).
4. Трёхразрядное однонулевое трёхпроводное кодирование 2:
2 - (0,1,1);
1 - (1,0,1);
0 - (1,1,0).
5. Трёхразрядное единичное (унарное) трёхпроводное кодирование 3:
2 - (1,1,1);
1 - (0,1,1);
0 - (0,0,1).
6. Двухуровневое нулевое трёхпроводное кодирование 4:
2 - (0,0,0);
1 - (1,0,0);
0 - (1,1,0).
и др.

Сравнение с двоичной системой счисления

При поразрядном сравнении троичная система счисления оказывается более ёмкой, чем двоичная система счисления.
При девяти разрядах двоичный код имеет ёмкость $2^{9}=512$ чисел, а троичный код имеет ёмкость $3^{9}=19683$ числа, т.е. в $3^{9}/2^{9}=38,4$ раза больше.
При двадцати семи разрядах двоичный код имеет ёмкость $2^{27}=134217728$ чисел, а троичный код имеет ёмкость $3^{27}=7625597484987$ чисел, т.е. в $3^{27}/2^{27}=56815,13$ раз больше.
При восьмидесяти одном разряде двоичный код имеет ёмкость $2^{81}=2417851693229258349412352$ числа, а троичный код имеет ёмкость $3^{81}=4,434e+38$ чисел, т.е. в $3^{81}/2^{81}=183396897083556,95$ раз больше.

Свойства

Троичная позиционная показательная несимметричная троичная система счисления по затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. А. Кушнеров приписывает эту теорему Джону фон Нейману.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в троичную

Для перевода целое десятичное число делят нацело с остатком (целочисленное деление) на 3 до тех пор, пока частное больше нуля. Остатки, записанные слева направо от последнего к первому являются целым несимметричным троичным эквивалентом целого десятичного числа.
Пример: десятичное целое число 48_10,10 переведём в несимметричное троичное целое число:
число = 48_10,10 делим на 3, частное = 16, остаток a₀ = 0
частное = 16_10,10 делим на 3, частное = 5, остаток a₁ = 1
частное = 5_10,10 делим на 3, частное = 2, остаток a₂ = 2
частное = 2_10,10 делим на 3, частное = 0, остаток a₃ = 1
Частное не больше нуля, деление закончено.
Теперь, записав все остатки от последнего к первому слева напрво, получим результат 48_10,10 = (a₃a₂a₁a₀)_3,3 = 1210_3,3.

Симметричная троичная система счисления

Позиционная целочисленная симметричная троичная система счисления была предложена итальянским математиком Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1170 — 1250) для решения «задачи о гирях». Частный случай этой задачи был опубликован в книге Баше де Мезириака в XVII веке, позже этой задачей интересовался Д. И. Менделеев.

Симметричность при взвешивании на рычажных весах использовали с древнейших времён, добавляя гирю на чашу с товаром. Элементы троичной системы счисления были в системе счисления древних шумеров, в системах мер, весов и денег, в которых были единицы равные 3. Но только в симметричной троичной системе счисления Фибоначчи объединены оба этих свойства.

Симметричная троичная система использовалась в советской ЭВМ Сетунь. По затратам числа знаков на представление чисел она равна троичной несимметричной системе.

Симметричная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой $\bar{1}$ (минус единица) в разряде единиц. Число −2 изображается цифрой $\bar{1}$ (минус единица) в разряде троек и цифрой 1 в разряде единиц.
Возможно шесть соответствий троичной симметричной системы счисления и троичной несимметричной системы счисления:

	1.	2.	3.	4.	5.	6.
1	2	1	0	0	2	1
0	1	0	2	1	0	2
Шаблон:Overline	0	2	1	2	1	0

В соответствии 2. сохраняются числовые значения 0 и 1.

Десятичная система	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Троичная несимметричная	−10	−2	−1	0	1	2	10	11	12	20	21	22	100
Троичная симметричная	10	11	1	0	1	11	10	11	111	110	111	101	100

В троичной симметричной системе счисления знак Шаблон:Overline можно заменить знаком (не числом) i или 2 и, во втором случае, использовать для троичной симметричной системы счисления {-1,0,+1} знаки троичной несимметричной системы {2,0,1}.

Свойства

Благодаря тому что основание 3 нечётно, в троичной системе возможно симметричное относительно нуля расположение цифр: -1, 0, 1, с которым связано четыре ценных свойства:

• Естественность представления отрицательных чисел;
• Отсутствие проблемы округления.
• Таблица умножения в этой системе, как отметил О. Л. Коши, примерно в четыре раза короче.(стр.34).
• Для изменения знака у представляемого числа нужно изменять знаки у всех его цифр. Это свойство увеличивает число операций при перемене знака (в несимметричных системах изменяется только один знаковый разряд), но повышает надёжность при сбоях в одном или более разрядах.

Представление отрицательных чисел

Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости в специальном разряде знака и не надо вводить дополнительный (или обратный) код для выполнения арифметических операций с отрицательными числами. Все действия над числами, представленными в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, -1, выполняются естественно с учётом знаков чисел. Знак числа определяется знаком старшей значащей цифры числа: если она положительна, то и число положительно, если отрицательна, то и число отрицательно. Для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (т.е. инвертировать его код инверсией Лукасевича). Например:

$10{\bar {1}}=9-1=8$

${\bar {1}}01=-9+1=-8$

Округление

Другим полезным следствием симметричного расположения значений цифр является отсутствие проблемы округления чисел: абсолютная величина части числа, представленной отбрасываемыми младшими цифрами, никогда не превосходит половины абсолютной величины части числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего из сохраняемых разрядов. Следовательно, в результате отбрасывания младших цифр числа получается наилучшее при данном количестве оставшихся цифр приближение этого числа, и округление не требуется.

Перевод в другие системы счисления

Всякое число, записанное в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, -1, можно представить в виде суммы целых степеней числа 3, причём если в данном разряде троичного изображения числа стоит цифра 1, то соответствующая этому разряду степень числа 3 входит в сумму со знаком «+», если же цифра -1, то со знаком «-», а если цифра 0, то вовсе не входит. Это можно представить формулой

$\cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0}+K_{-1}\cdot 3^{-1}+K_{-2}\cdot 3^{-2}+K_{-3}\cdot 3^{-3}+\cdots$, где

$\cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0}$ — целая часть числа,

$\cdots +K_{-1}\cdot 3^{-1}+K_{-2}\cdot 3^{-2}+K_{-3}\cdot 3^{-3}+\cdots$ — дробная часть числа,

причём коэффициенты K могут принимать значения { 1, 0, -1 }.

Для того чтобы число, представленное в троичной системе, перевести в десятичную систему, надо цифру каждого разряда данного числа умножить на соответствующую этому разряду степень числа 3 (в десятичном представлении) и полученные произведения сложить.

Девятиричная форма представления команд

Представление команд троичным кодом при программировании и при вводе в машину неудобно и неэкономно, поэтому вне машины применяется девятиричная форма представления команд. Девятиричные цифры ${\bar {4}},{\bar {3}},{\bar {2}},{\bar {1}},0,1,2,3,4$ сопоставляются парам троичных цифр:

${\bar {1}}{\bar {1}}={\bar {4}};\quad {\bar {1}}0={\bar {3}};\quad {\bar {1}}1={\bar {2}};\quad 0{\bar {1}}={\bar {1}};\quad 00=0;$

$11=4;\quad 10=3;\quad 1{\bar {1}}=2;\quad 01=1.$

При выводе из машины отрицательные девятиричные цифры обозначают буквами:

Девятиричная цифра	$\bar{1}$	$\bar{2}$	$\bar{3}$	$\bar{4}$
Буква латинского алфавита	Z	Y	X	W
Буква русского алфавита	Ц	У	Х	Ж

См. также

• Системы счисления
• Позиционные системы счисления
• Троичный код
• Троичная логика
• Сетунь (компьютер)
• Троичный триггер
• Троичный компьютер
• Троичный разряд
• Трайт
• Единицы количества информации
• Комбинированные системы счисления
• Троичное кодирование
• Двоичный код

Литература

Брусенцов Н.П., С.П. Маслов, В.П. Розин, А.М. Тишулина "Малая цифровая вычислительная машина Сетунь" Издательство Московского университета 1965

Ссылки

• Системы счисления, основанные на числах Фибоначчи и Золотой Пропорции
• С. В. Фомин Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике).

После нажатия на PDF(333Kb)  нужно стронуть боковую часть рамки окна браузера.

• http://school6.tgl.ru/uchebnik/sistem_s/03.htm Системы счисления. Л.Н.Олейник. Арифметические действия в позиционных системах счисления. Троичная система счисления.
• http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F Википедия. Троичная система счисления

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Троичная система счисления. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---