Virtual Laboratory Wiki
Advertisement

Тор

Торповерхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности. Ось тора может лежать вне образующей окружности либо касаться её.

Уравнения

  • Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:
  • Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:
    , поэтому тор является частным случаем поверхности четвёртого порядка.

Свойства

  • Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гульдина: .
  • Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Гульдина: .
  • При сечении тора бикасательной плоскостью, получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей Вилларсо.

Этапы выворачивания тора

Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть рядом диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.[1]

Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.[2] Другие парадоксы, связанные с торами можно найти в статьях М. Гарднера, опубликованных в Scientific American в декабре 1972 и декабре 1979 гг.[3]

История

Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

Вариации и обобщения


C1-фрактал

впервые удалось визуализировать загадочный математический объект под названием изометричное вложение двумерного тора в трехмерное пространство. Помимо красивой картинки, новый результат продемонстрировал, что целый класс дифференциальных уравнений, ранее считавшихся недоступными для расчетов на компьютере, может быть решен с помощью существующих вычислительных машин. Полученное вложение ученые назвали C1-фракталом.

в 1854 году, Риман представил на суд публики свой труд Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegеn («О гипотезах, лежащих в основании геометрии»). В этом труде Риману удалось сформулировать понятие многомерной поверхности (или, как говорят сейчас, многообразия), а также понятия метрики – набора чисел в каждой точке такой поверхности, возможно меняющегося от точки к точке, которые характеризуют ее геометрию. Среди прочего, метрика позволяет скалярно перемножать вектора, «торчащие» в одной точке пространства, а также в некотором смысле очень естественно считать длины кривых, соединяющих точки поверхности (кстати, именно риманова геометрия является математическим аппаратом теории относительности).

абстрактное риманово многообразие может быть реализовано как поверхность в пространстве достаточно большой размерности так, что длины любой кривой между любыми двумя точками, посчитанные в смысле внутренней римановой метрики и в смысле метрики окружающего пространства, совпадают. Такая реализация называется изометрическим вложением многообразия в риманово пространство.

В 70–80-е годы прошлого века математик российского происхождения Михаил Громов занялся обобщением результатов Нэша и Кейпера. Дело в том, что в оригинальном доказательстве по сути устанавливалось существование решения у некоторой системы дифференциальных уравнений в частных производных. Громов решил обобщить подход Нэша и Кейпера к другим системам дифференциальных уравнений, и у него это получилось. Более того, созданный им метод – получивший название выпуклого интегрирования – оказался применим к широкому классу систем и даже неравенств. Этот метод очень пригодился математикам, чтобы, среди прочего, визуализировать знаменитый результат Смейла о том, что в трехмерном пространстве сферу можно вывернуть наизнанку.

Плоский тор и его вложение

Чтобы понять, что такое плоский тор, представим себе квадрат на плоскости. Будем считать, что противоположные стороны у квадрата отождествлены. Это означает, что всякий двумерный объект на этом квадрате, заезжая за один край, выезжает из противоположного (любители классических игр помнят, что в «Астероидах» именно так летали астероиды). Чтобы понять, что это тор, склеим два края квадрата – получим цилиндр. Теперь склеим края цилиндра и получим привычный всем бублик.

pic002_7.jpg Рис. 2. Линии на плоском торе и их образы на вложении. Иллюстрация авторов исследования (кликните, чтобы увеличить).

При этом, если бы склеивания выполнялись в действительности, стало бы понятно, что из бумажного квадрата цилиндр получается довольно просто, а вот из цилиндра тор – уже нет. Это связано с тем, что в нашем квадрате отрезки, параллельные его сторонам, имеют одинаковую длину по горизонтали и по вертикали, в то время как на настоящем бублике параллели (например, на наружной стороне тора и на внутренней) имеют разные длины. Чтобы сделать из бумажного цилиндра тор, его придется смять, появятся изломы, острые края, то есть поверхность не будет C1-многообразием.

В рамках работы, опубликованной в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences, французские ученые предложили действовать следующим способом. Сначала они взяли обычный тор в трехмерном пространстве, а затем стали возмущать его так, что длины одних параллелей увеличивались, а длины других – уменьшались. Возмущения были разбиты на последовательность шагов, пределом которых и должно было стать нужное вложение.

При этом в пределе получается объект, у которого в каждой точке есть касательная плоскость, однако по построению он напоминает фрактал. Эти объекты ученые назвали C1-фракталами. По их словам, эти фракталы могут представлять интерес для математиков-теоретиков.

[1] Полученная компьютерная трехмерная модель состояла из почти двух миллиардов узлов. Очертаниями она напоминала тор, хотя и имела необычные свойства. Поверхность модели была периодичной (самоподобной), и этим напоминала поверхность фракталов, но при этом, в отличие от фракталов, все равно оставалась гладкой.

См. также

Примечания

  1. Этапы выворачивания тора были приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли «Топология» в Scientific American в январе 1950 г.
  2. Подробности приведены в статьей М. Гарднера в Scientific American за март 1977
  3. Тор действительно можно вывернуть наизнанку через проделанное в нем отверстие, но ленты от этого не станут сцепленными. При выворачивании тора наружная и внутренняя ленты меняются местами. После того как тор вывернут наизнанку, малая лента (меридиан) растягивается в большую (параллель), а большая сжимается в малую. Ленты по-прежнему остаются несцепленными. Резиновую модель тора, например велосипедную камеру, нелегко вывернуть наизнанку через дырочку, так как камеру при этом необходимо очень сильно растягивать. Гораздо легче вывернуть тор, сделанный из мягкой ткани. Сложите квадратный кусок ткани пополам и сшейте края так, чтобы получилась трубка. Согните трубку в кольцо и сшейте противоположные концы так, чтобы получился тор. В разглаженном виде такой тор будет иметь форму квадрата (сложенного в 4 раза исходного квадрата). "Дыру" следует прорезать по горизонтали в верхнем слое ткани, тогда вывернуть тор будет особенно легко. Итак, вывернем тор наизнанку через прорезь. Размеры его от этого не изменятся, но прорезь из горизонтальной превратится в вертикальную. Рисунок ткани, если таковой имеется, также повернется на 90°. Иначе говоря, при выворачивании параллели тора превратятся в меридианы, а меридианы - в параллели. Чтобы своими глазами убедиться в этом, начертите одним цветом параллель, а другим - меридиан. После выворачивания тора наизнанку обе окружности поменяются местами. Наглядно представить себе все этапы деформации тора при выворачивании его наизнанку нелегко. Рисунки, изображающие один за другим все этапы этой операции, приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли "Топология" в Scientific American за январь 1950 г, С тором связано много других парадоксов. Пусть, например, тор с дырой сцеплен с тором без дыры. Может ли один из торов "проглотить" другой так, чтобы тот оказался целиком внутри него? Оказывается, может. Подробности приведены в моей статье, опубликованной в мартовском номере журнала Scientific American за 1977г. Другие парадоксы, связанные с торами, вы найдете в моих статьях, опубликованных в том же журнале в декабре 1972 г, (о заузленных торах) и в декабре 1979г

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Тор. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Advertisement