Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.
Формулировка [ ] Пусть
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,\;\mathcal{F},\;\mu)}
пространство с мерой и мера
μ
{\displaystyle \mu}
σ
{\displaystyle \sigma}
ν
:
F
→
R
{\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R} }
абсолютно непрерывна относительно
μ
{\displaystyle \mu}
(
ν
≪
μ
)
{\displaystyle (\nu \ll \mu)}
измеримая функция
f
:
X
→
R
{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }
ν
(
A
)
=
∫
A
f
(
x
)
μ
(
d
x
)
,
∀
A
∈
F
,
{\displaystyle \nu (A)=\int \limits _{A}\!f(x)\,\mu (dx),\quad \forall A\in {\mathcal {F}},}
где интеграл понимается в смысле Лебега .
Связанные понятия [ ] Функция
f
{\displaystyle f}
производной Радона — Никодима меры
ν
{\displaystyle \nu}
μ
{\displaystyle \mu}
f
=
d
ν
d
μ
.
{\displaystyle f={\frac {d\nu }{d\mu }}.}
Если
(
X
,
F
)
=
(
R
k
,
B
(
R
k
)
)
{\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}})=\left(\mathbb {R} ^{k},\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{k})\right)}
k
{\displaystyle k}
векторное пространство с борелевской σ-алгеброй ,
ν
=
P
X
{\displaystyle \nu = \mathbb{P}^{X}}
распределение некоторой случайной величины
X
{\displaystyle X}
μ
=
m
{\displaystyle \mu = m}
мера Лебега на
R
k
{\displaystyle \mathbb{R}^k}
P
X
{\displaystyle \mathbb{P}^X}
m
{\displaystyle m}
плотностью распределения случайной величины
X
{\displaystyle X}
Свойства [ ] Пусть
λ
,
μ
,
ν
{\displaystyle \lambda ,\;\mu ,\;\nu }
σ
{\displaystyle \sigma}
измеримом пространстве
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}})}
μ
≪
λ
{\displaystyle \mu \ll \lambda}
ν
≪
λ
{\displaystyle \nu \ll \lambda}
d
(
μ
+
ν
)
d
λ
=
d
μ
d
λ
+
d
ν
d
λ
.
{\displaystyle {\frac {d(\mu +\nu )}{d\lambda }}={\frac {d\mu }{d\lambda }}+{\frac {d\nu }{d\lambda }}.}
Пусть
ν
≪
μ
≪
λ
{\displaystyle \nu \ll \mu \ll \lambda}
d
ν
d
λ
=
d
ν
d
μ
d
μ
d
λ
{\displaystyle \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}}
λ
{\displaystyle \lambda}
Пусть
μ
≪
λ
{\displaystyle \mu \ll \lambda}
g
:
X
→
R
{\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} }
μ
{\displaystyle \mu}
∫
X
g
(
x
)
μ
(
d
x
)
=
∫
X
g
(
x
)
d
μ
d
λ
(
x
)
λ
(
d
x
)
.
{\displaystyle \int \limits _{X}\!g(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}\!g(x)\,{\frac {d\mu }{d\lambda }}(x)\,\lambda (dx).}
Пусть
μ
≪
ν
{\displaystyle \mu \ll \nu}
ν
≪
μ
{\displaystyle \nu\ll \mu}
d
μ
d
ν
=
(
d
ν
d
μ
)
−
1
.
{\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.}
Пусть
ν
{\displaystyle \nu}
заряд . Тогда
d
|
ν
|
d
μ
=
|
d
ν
d
μ
|
.
{\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.}
Вариации и обобщения [ ] Аналогичная теорема справедлива для зарядов , то есть знакопеременных мер.
См. также [ ] Никодим, Отто ;Радон, Иоганн .
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке Теорема Радона — Никодима . Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок CC-BY-SA .
