Теорема Ляпунова

Теорема Ляпунова

Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым и составляют содержание теоремы, названной его именем. Приведём без доказательства только следствие из теоремы Ляпунова.

Пусть с $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$,… последовательность попарно независимых случайных величин с математическими ожиданиями M$(\xi_i)=\alpha_i$ и дисперсиями D$(\xi_i)=\sigma_i^2$ , причём эти величины обладают следующими двумя свойствами:

1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство $\mid \xi_i - M(\xi_i)\mid<L$, т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;

2) Сумма $\sum_{i=1}^n\sigma_i^2$ неограниченно растёт при $n \to \infty$

Тогда при достаточно большом n сумма $\xi=\xi_1+\xi_2+...+\xi_n$ имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть $\alpha$ и $\sigma$ математическое ожидание и дисперсия случайной величины $\xi=\xi_1+\xi_2+...+\xi_n$. Тогда

$\alpha = M(\xi)=M(\xi_1+\xi_2+...+\xi_n)=M(\xi_1)+M(\xi_2)+...+M(\xi_n)=\sum_{i=1}^n\alpha_i$

$\sigma = D(\xi)=D(\xi_1+\xi_2+...+\xi_n)=D(\xi_1)+D(\xi_2)+...+D(\xi_n)=\sum_{i=1}^n\sigma_i$

$P(x_1<\xi_1+\xi_2+...+\xi_n <x_2)\approx \phi \left( \frac{x_2-\alpha}{\sigma} \right) - \phi \left( \frac{x_1-\alpha}{\sigma} \right)$

Где $\phi$ - интервал вероятности.Ξερω/