Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса (ТЭИ) — тензор второго ранга, описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи, и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.

Метрический тензор энергии-импульса

В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ $T^ {\mu \nu} (x)$ выражается через вариационную производную по метрическому тензору $g_{\mu \nu}$ в точке $x$ пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:

${T_m}^{\mu \nu} (x) = \frac {2}{\sqrt{-g}} \frac {\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \delta g_{\mu \nu} (x)}=g^{\mu \nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g_{\mu \nu}}=$

$=\frac {2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \partial g_{\mu \nu} (x)}-\frac{\partial}{\partial x^\lambda}\frac {\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial\displaystyle\frac{\partial g_{\mu \nu} (x)}{\partial x^\lambda}}+\ldots\right),$

где $g(x) = \det \left ( g_{\mu \nu} (x) \right ).$ Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:

$\frac {c^4}{8 \pi G} \left ( R_{ \mu \nu } - \frac {1}{2} g_{ \mu \nu } R \right ) = T_{ \mu \nu } (x),$

где $R_{ \mu \nu }$ — тензор Риччи, $R = g^{ \mu \nu } R_{ \mu \nu }$ — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде

$T^\mu_{\nu;\mu}=0.$

Канонический тензор энергии-импульса

В специальной теории относительности существует также канонический ТЭИ, получаемый вариацией по полевым величинам $q^i$ (в галилеевых координатах)

${T_c}^\mu_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1}q^i_{,\nu}\frac{\partial L_m}{\partial q^i_{,\mu}}- g^\mu_\nu L_m.$

Закон сохранения имеет вид

$T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.$

Этот тензор несимметричен, но может быть приведён к симметричному добавлением тензорной величины $\frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\partial x^{\lambda}}\;,$ где тензор $\psi^{\mu\nu\lambda}\;$ антисимметричен по двум последним индексам $\psi^{\mu\nu\lambda}=-\psi^{\mu\lambda\nu}.$

Ссылки

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4

• • § 32 — канонический ТЭИ
  • § 94 — метрический ТЭИ.

См. также

• Тензор момента импульса
• Тензор кривизны
• Тензор Эйнштейна

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Тензор энергии-импульса. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---