Сходимость в Lp

Сходи́мость в $L^p$ в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

Определение

Пусть $(X, \mathcal{F}, \mu)$ — пространство с мерой. Тогда пространство $L^p \equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ измеримых функций, таких что их $p$-я степень, где $p \geqslant 1$, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

$d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right)^{1/p}$.

Пусть дана последовательность $\{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p$. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в $L^p$ к функции $f \in L^p$, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

$\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0$.

Пишут: $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$.

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ сходится к $X$ из того же пространства, если

$\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0$.

Пишут: $X_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}X$.

Терминология

• Сходимость в пространстве $L^1$ называется сходимостью в среднем.
• Cходимость в пространстве $L^2$ называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в $L^p$

• Единственность предела. Если $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$ и $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}g$, то $f = g$ $\mu$-почти всюду ($\mathbb{P}$-почти наверное).

• Пространство $L^p$ полно. Если $\|f_n-f_m\|_p \to 0$ при $\min(n,m) \to \infty$, то существует $f \in L^p$, такой что $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$.

• Сходимость в $L^p$ влечёт сходимость по мере (по вероятности). Если $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$, то $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$.