Скалярное произведение

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно обозначается как

$\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle$, $(\mathbf a, \mathbf b)$, $\mathbf a \cdot \mathbf b$ или обозначение Дирака: $\langle a|b\rangle$.

Обычно предполагается что скалярное произведение положительно определённо, то есть

$\langle \mathbf a, \mathbf a \rangle > 0$ для всех $a\not=0$.

Элементарное определение

Элементарное определение скалярного произведения используется, когда определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении элементарной геометрии). В этом случае скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними:

$\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)}$

Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение (см. ниже).

Современное определение

Скаля́рное произведе́ние — определённая на линейном пространстве $L$ над полем $K$ вещественных (или комплексных) чисел симметричная билинейная форма (соответственно, эрмитова форма), рассматриваемая обычно в качестве составной части определения этого пространства.

• Аксиома эрмитовости (коммутативности) скалярного произведения

$\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$

Здесь через $\overline{\langle y,x\rangle}$ обозначено число, комплексно сопряжённое к $\langle y,x\rangle$.

Чаще всего рассматривается случай, когда скалярное произведение является положительно определённым, то есть к аксиомам линейности добавляется аксиома положительной определённости:

$\langle x,x\rangle > 0\$ для любого $x \neq 0$,

$\langle 0,0\rangle = 0\$.

В этом случае на пространстве $L$ можно ввести порождённую скалярным произведением норму вида

$\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle},$

удовлетворяющую неравенству Коши — Буняковского, а значит, оснащённое таким скалярным произведением пространство является также метрическим и топологическим.

Если же для данного типа скалярного произведения в данном пространстве оказывается, что возможны случаи $\langle x,x\rangle = 0\$ для каких-то $x \neq 0$ (чего иногда трудно избежать в бесконечномерных пространствах), то в этом случае $\sqrt{\langle x,x\rangle}$ будет полунормой.

Связанные определения

На основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:

• Углом между двумя ненулевыми векторами на евклидовой плоскости называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
      $\langle\vec a, \vec b\rangle = |\vec a| |\vec b| \cos \phi.$
  В случае, если плоскость является псевдоевклидовой, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
      $|\langle\vec a, \vec b\rangle| = |\vec a| |\vec b| \operatorname{ch} \phi.$

• Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно $0$. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены действительно являются ортогональными (в смысле этого определения) друг к другу в некотором гильбертовом пространстве.

• Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
  • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
• Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

Примеры

• В трёхмерном вещественном линейном пространстве векторов $\vec x = (x_1, x_2, x_3)$ введение скалярного произведения по формуле $\langle\vec x, \vec y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$ превращает это пространство в евклидово пространство.

• В таком же, но комплексном, пространстве, скалярное произведение вводится по несколько другой формуле: $\langle\vec x, \vec y\rangle = x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+x_3\overline{y_3}$. Здесь через $\overline{a}$ обозначено число, комплексно сопряжённое к $\ a$. При таком определении скалярное произведение становится положительно определённым. Без комплексного сопряжения аксиома эрмитовости скалярного произведения была бы нарушена, а значит, вещественности определённой через него нормы вектора добиться бы не удалось, то есть норма в обычном смысле им бы не порождалась.

• В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:

$\langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega f(x) g(x) d\Omega$

• В аналогичном случае для комплексных функций, если требуется эрмитовость (и положительная определённость) скалярного произведения, надо добавить комплексное сопряжение к f или g под интегралом.

• При использовании неортонормированных базисов (метрика в ортонормированных базисах тривиальна, то есть единична) скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора $g_{ij}$:

$\langle\vec a, \vec b\rangle = \sum g_{ij}a^i b^j$

при этом сама метрика так связана со скалярными произведениями базисных векторов $f_i\$:

$g_{ij} = \langle\vec f_i, \vec f_j\rangle$

• Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

$\langle f, g \rangle = \int\limits_{(\Omega_1 \times \Omega_2)} K(x_1,x_2) f(x_1) g(x_2) d(\Omega_1 \times \Omega_2)$

$\langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega K(x) f(x) g(x) d\Omega$

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

Применение

Использование скалярного определения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук.

Широко известны следующие применения:

• Любые геометрические вычисления (как собственно в математике, так и в приложениях), связанные с длинами, углами, проецированием, ортогональностью.
• Площадь также выражается через скалярное произведение, например, двумерная площадь параллелограмма, натянутого на два вектора $\vec{a}\$ и $\vec{b}\$, равна

$\sqrt{\langle \vec{a},\vec{a}\rangle \langle \vec{b},\vec{b}\rangle - \langle \vec{a},\vec{b}\rangle^2}\$

• Аналогичные вычисления в геометризованных теориях в физике (таких, как СТО или ОТО).
• Разложение векторов по базису и переход к новому базису, являющееся основой многих разделов математики и ключевым приемом эффективного решения практических геометрических задач или практических задач, формулируемых на языке линейной алгебры (относящихся, например, к статистике).
• В том числе, в бесконечномерном случае, преобразования Фурье.
  • Квантовая механика в одной из классических и наиболее распространенных формулировок полностью построена, как по смыслу, так и технически, на концепциях, ключевой конструкцией которых является бесконечномерное (в частных задачах и конечномерное) абстрактное пространство, снабжённое скалярным произведением, и преобразованиях Фурье.

Обобщения

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам. Аналогичное обобщение в принципе нетрудно сделать и в бесконечномерном случае.

См. также

• Псевдоскалярное произведение
• Смешанное произведение
• Гильбертово пространство
• Метрический тензор

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Скалярное произведение. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---