Virtual Laboratory Wiki
Advertisement

Рациона́льное число́ (лат. ratio — отношение, деление, дробь), рациональная дробь — число, представляемое обыкновенной дробью , где  — целое число,  — натуральное число. При этом число называется числителем, а число  — знаменателем дроби .

Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано в виде

.

Множество является счётным.

Множество рациональных чисел является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел ) относительно операций сложения и умножения дробей.

Каждое рациональное число является алгебраическим.

Формальное определение

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар по отношению эквивалентности , если . При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

Связанные определения

Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, дроби 3/5, 7/8, 1/2 — правильные дроби, 8/3, 9/5 — неправильные дроби. Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Число, записанное в виде натурального числа и правильной дроби (например, 2 3/7) называется смешанным.

Счётность множества

Докажем, что множество всех пар натуральных чисел счётно. Назовём высотой пары число . Имеется ровно пара с высотой , а именно . Обозначим конечное множество пар высотой . Очевидно, множество , как объединение счётного числа конечных множеств, счётно.

Каждому положительному дробному числу взаимнооднозначно соответствует несократимая дробь и, следовательно, пара натуральных чисел . Множество пар, соответствующих несократимым дробям есть подмножество множества , а значит, как подмножество счётного множества является или конечным, или счётным. Подмножество рациональных чисел , очевидно, счётно, из чего следует, что и множество рациональных чисел счётно.

Комментарий

Термин дробное число (дробь) иногда используется как синоним к термину рациональное число, а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае, дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа — всего лишь частный случай дробных.

Литература

  • И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.
  • П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
  • И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

См. также

Ссылки

Онлайн Калькулятор Рациональных Чисел




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Рациональное число. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Advertisement