Плотность вероятности Probability density function for the Cauchy distribtion Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши | |
Функция распределения Cumulative distribution function for the Normal distribution Цвета находятся в соответствии с графиком выше | |
Параметры | - коэффициент сдвига - коэффициент масштаба |
Носитель | |
Плотность вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | (не определено) |
Медиана | |
Мода | |
Дисперсия | (не определена) |
Коэффициент асимметрии | (не определён) |
Коэффициент эксцесса | (не определён) |
Информационная энтропия | |
Производящая функция моментов | (не определена) |
Характеристическая функция |
Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.
Определение[]
Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью , имеющей вид:
- ,
где
- — параметр сдвига;
- — параметр масштаба.
Тогда говорят, что имеет распределение Коши и пишут . Если и , то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.
Функция распределения[]
Функция распределения Коши имеет вид:
- .
Она строго возрастает и имеет обратную функцию:
Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.
Моменты[]
Так как интеграл Лебега
не определён для , ни математическое ожидание, ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.
Другие свойства[]
- Распределение Коши бесконечно делимо.
- Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если , то
Связь с другими распределениями[]
- Если , то
- .
- Если — независимые нормальные случайные величины, такие что , то
- .
- Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:
- .
|
править |
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Распределение Коши. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .