Пространство Минковского

Файл:Minkovsky fantas1.svg

Иллюстрация парадокса близнецов на диаграмме Минковского.

Простра́нство Минко́вского ― четырёхмерное псевдоевклидово пространство сигнатуры $(1,\;3)$, предложенное Германом Минковским в 1908 году в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности.

Каждому событию соответствует точка пространства Минковского, в лоренцевых (или галилеевых) координатах три координаты которой представляют собой декартовы координаты трёхмерного евклидова пространства, а четвёртая ― координату $ct$, где $c$ ― скорость света, $t$ ― время события. Связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, характеризуется квадратом интервала:

$s^{2}=c^{2}(t_{1}-t_{0})^{2}-(x_{1}-x_{0})^{2}-(y_{1}-y_{0})^{2}-(z_{1}-z_{0})^{2}.$

(Нередко в качестве квадрата интервала берется противоположная величина, выбор знака — вопрос произвольного соглашения. Так, первоначально сам Минковский предложил именно противоположный знак для квадрата интервала).

Интервал в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замене одной инерциальной системы отсчета на другую, так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве. Роль, аналогичную роли вращений координат в случае евклидова пространства, играют для пространства Минковского преобразования Лоренца.

Интервал аналогичен квадрату расстояния в евклидовом пространстве. В отличие от последнего интервал не положителен, также между различными событиями интервал может быть равен нулю.

---

N.B. Простра́нством Минко́вского также иногда называют метрическое пространство которое получается из конечномерного нормированного пространства с функцией расстояния $d(x,\;y)=\|y-x\|$.

Связанные определения

• Псевдометрика в пространстве Минковского, определяемая приведенной выше формулой для интервала, называется метрикой Минковского или лоренцевой метрикой. Под лоренцевой метрикой понимают или метрику, явно соответствующую этому определению в выбранных координатах (и определяющую таким образом выбор координат), или метрику, которая может быть сведена к таковой подходящим выбором непрерывных координат. Лоренцев метрический тензор обычно обозначается $~\eta _{ij}$, он задаёт квадратичную форму сигнатуры $(1,\;-1,\;-1,\;-1)$. Термин лоренцева метрика или метрика Минковского может применяться и в случаях размерностей, отличных от 4. Тогда это обычно означает, что одна координата играет роль времени, а остальные— пространственных координат.
• Множество всех векторов с нулевым квадратом интервала образует коническую поверхность и называется световым конусом.
• Вектор, лежащий внутри светового конуса, называется времениподобным вектором, вне светового конуса— пространственноподобным.
• Событие в данный момент времени в данной точке называется мировой точкой.
• Множество мировых точек, описывающее развитие какого-либо процесса или явления во времени, называется мировой линией.
• Инерциальный наблюдатель: наблюдатель, который покоится либо движется равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета. В лоренцевых (галилеевых) координатах мировая линия этого наблюдателя выглядит особенно просто: $x^{i}=x_{0}^{i}+u^{i}a\;,$ где $a\;$ — параметр, а $i$ изменяется от 1 до 4 — тогда временной координатой является четвёртая, или от 0 до 3 — тогда временная координата нулевая.
• Интервал между двумя событиями, через которые проходит мировая линия инерциального наблюдателя, делённый на $c$, называется его собственным временем, так как эта величина совпадает со временем, измеренным движущимися вместе с наблюдателем часами. Для неинерциального наблюдателя собственное время между двумя событиями соответствует интегралу от интервала вдоль мировой линии.
• Если вектор, соединяющий мировые точки, времениподобен, то существует система отсчета, в которой события происходят в одной и той же точке трёхмерного пространства.
• Если вектор, соединяющий мировые точки двух событий, пространственноподобен, то существует система отсчета, в которой эти два события происходят одновременно; они не связаны причинно-следственной связью; модуль интервала определяет пространственное расстояние между этими точками (событиями) в этой системе отсчета.
• Кривая, касательный вектор к которой в каждой ее точке времениподобен, называется времениподобной линией. Аналогично определяются пространственноподобные и изотропные («светоподобные») кривые.
• Касательный вектор к мировой линии является времениподобным вектором.
• Касательный вектор к световому лучу является изотропным вектором.
• Группой движений пространства Минковского, то есть группой преобразований, сохраняющих метрику, является 10-параметрическая группа Пуанкаре, состоящая из 4 трансляций— 3 пространственных и 1 временно́й, 3 чисто пространственных вращений и 3 пространственно-временных вращений, иначе называемых бустами. Последние 6, взятые вместе, образуют подгруппу группы Пуанкаре— группу преобразований Лоренца. Таким образом, пространство Минковского является четырёхмерным метрическим пространством наивысшей возможной степени симметрии и имеет 10 векторов Киллинга.
• Специфические физически значимые классы координат в пространстве Минковского— лоренцевы (или галилеевы) координаты, координаты Риндлера и координаты Борна.

Ссылки

• Геометрия мира Минковского

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Пространство Минковского. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---