Произведе́ние ме́р в функциональном анализе , теории вероятностей и смежных дисциплинах - формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.
Построение [ ] Пусть
(
X
i
,
F
i
,
μ
i
)
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle (X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2}
пространства с мерами . Тогда
X
1
×
X
2
{\displaystyle X_1 \times X_2}
декартово произведение множеств
X
1
{\displaystyle X_1}
X
2
{\displaystyle X_2}
F
1
×
F
2
{\displaystyle \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2}
X
1
×
X
2
{\displaystyle X_1 \times X_2}
объединений , и следовательно не является σ-алгеброй . Введём обозначение
F
1
⊗
F
2
=
σ
(
F
1
×
F
2
)
{\displaystyle \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 = \sigma \left(\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2\right)}
- минимальная σ-алгебра, содержащая
F
1
×
F
2
{\displaystyle \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2}
(
X
1
×
X
2
,
F
1
⊗
F
2
)
{\displaystyle (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2)}
измеримое пространство . Определим на нём меру
μ
1
⊗
μ
2
:
F
1
⊗
F
2
→
R
{\displaystyle \mu_1 \otimes \mu_2 : \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 \to \mathbb{R}}
μ
1
⊗
μ
2
(
A
)
=
μ
1
(
A
1
)
⋅
μ
2
(
A
2
)
,
∀
A
=
A
1
×
A
2
∈
F
1
×
F
2
{\displaystyle \mu_1 \otimes \mu_2 (A) = \mu_1(A_1) \cdot \mu_2(A_2),\quad \forall A = A_1 \times A_2 \in \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2}
Тогда
μ
1
⊗
μ
2
{\displaystyle \mu_1 \otimes \mu_2}
F
1
×
F
2
{\displaystyle \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2}
F
1
⊗
F
2
{\displaystyle \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2}
μ
1
⊗
μ
2
(
A
)
=
∫
X
2
μ
1
(
A
x
2
)
μ
2
(
d
x
2
)
,
A
∈
F
1
⊗
F
2
{\displaystyle \mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_2} \mu_1(A_{x_2})\, \mu_2(dx_2),\quad A \in \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2}
или
μ
1
⊗
μ
2
(
A
)
=
∫
X
1
μ
2
(
A
x
1
)
μ
1
(
d
x
1
)
{\displaystyle \mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_1} \mu_2(A_{x_1})\, \mu_1(dx_1)}
где
A
x
2
=
{
x
1
∈
X
1
∣
(
x
1
,
x
2
)
∈
A
)
}
{\displaystyle A_{x_2} = \{x_1 \in X_1 \mid (x_1,x_2) \in A )\}}
A
{\displaystyle A}
x
2
∈
X
2
{\displaystyle x_2 \in X_2}
A
x
1
=
{
x
2
∈
X
2
∣
(
x
1
,
x
2
)
∈
A
)
}
{\displaystyle A_{x_1} = \{x_2 \in X_2 \mid (x_1,x_2) \in A )\}}
A
{\displaystyle A}
x
1
∈
X
1
{\displaystyle x_1 \in X_1}
Получившаяся мера
μ
1
⊗
μ
2
{\displaystyle \mu_1 \otimes \mu_2}
μ
1
{\displaystyle \mu_1 }
μ
2
{\displaystyle \mu_2 }
(
X
1
×
X
2
,
F
1
⊗
F
2
,
μ
1
⊗
μ
2
)
{\displaystyle (X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2)}
Замечания [ ] Если
(
Ω
i
,
F
i
,
P
i
)
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle (\Omega_i,\mathcal{F}_i,\mathbb{P}_i),\; i=1,2}
вероятностных пространства , то
(
Ω
1
×
Ω
2
,
F
1
⊗
F
2
,
P
1
⊗
P
2
)
{\displaystyle (\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2)}
Если
X
,
Y
:
Ω
→
R
{\displaystyle X,Y:\Omega \to \mathbb{R}}
случайные величины , то
P
X
,
P
Y
{\displaystyle \mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y}
распределения на
R
{\displaystyle \R}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
P
X
,
Y
{\displaystyle \mathbb{P}^{X,Y}}
R
2
{\displaystyle \mathbb R^{2}}
(
X
,
Y
)
⊤
{\displaystyle (X,Y)^{\top}}
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
независимы , то
P
X
,
Y
=
P
X
⊗
P
Y
{\displaystyle \mathbb{P}^{X,Y} = \mathbb{P}^X \otimes \mathbb{P}^Y}
Пример [ ] Мера Лебега
m
n
{\displaystyle m_n}
R
n
{\displaystyle \R^n}
n
{\displaystyle n}
m
1
{\displaystyle m_1 }
R
{\displaystyle \R}
B
(
R
n
)
=
⨂
i
=
1
n
B
(
R
)
{\displaystyle \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \bigotimes\limits_{i=1}^n \mathcal{B}(\mathbb{R})}
где
B
(
X
)
{\displaystyle \mathcal{B}(X)}
борелевскую σ-алгебру на пространстве
X
{\displaystyle X}
m
n
=
⨂
i
=
1
n
m
1
{\displaystyle m_n = \bigotimes\limits_{i=1}^n m_1}
См. также [ ]
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке Произведение мер . Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок CC-BY-SA .
