Принцип наименьшего принуждения

Принцип наименьшего принуждения, или принцип Гаусса, состоит в том, что в каждый момент времени истинное движение системы, находящейся под действием активных сил и подчиненной идеальным связям, отличается от всех кинематически возможных движений, совершающихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения мера отклонения от свободного движения, т.е. принуждение, есть минимум.

Обоснование

Файл:Принцип наменьшего принуждения.jpg

Рис.1

Пусть точка механической системы с массой $m_i$ в момент времени $t_0$ находится в положении $M_i$. При свободном движении точка за очень малый промежуток $\tau$ пройдет расстояние $M_{i}A_{i}=\mathbf {v} _{i}\tau$ (см. Рис.1), где $v_i$ - скорость точки в момент времени $t_0$. Если же на точку будет действовать активная сила $F_i$, точка под воздействием этой силы совершит перемещение ${\overline {M_{i}B_{i}}}$. Разложим в ряд по времени вектор перемещения. Будем иметь:

$r(t_{0}+\tau )=r(t_{0})+r^{'}(t_{0})\tau +{\frac {1}{2}}r^{''}(t_{0})\tau ^{2}+...$

Но

$r^{'}(t_{0})=v,r^{''}(t_{0})=\varpi ={\frac {\mathbf {F_{i}} }{m_{i}}}$

Поэтому это перемещение с точнось до малых третьего порядка будет равно:

${\overline {M_{i}B_{i}}}=\mathbf {v} _{i}\tau +{\frac {1}{2}}{\frac {\mathbf {F_{i}} }{m_{i}}}\tau ^{2}$

Если же на точку наложить связи, то ее перемещение по действием силы $F_i$ и при наличии связей будет будет с точностью до малых третьего порядка будет равно:

${\overline {M_{i}C_{i}}}=\mathbf {v} _{i}\tau +{\frac {1}{2}}\mathbf {\varpi _{\mathrm {i} }} \tau ^{2}$ ,

где $\mathbf {\varpi _{\mathrm {i} }}$ ускорение точки. Тогда отклонение точки от свободного движения будет представлено вектором ${\overline {B_{i}C_{i}}}$. Очевидно, что

${\overline {B_{i}C_{i}}}={\overline {M_{i}C_{i}}}-{\overline {M_{i}B_{i}}}={\frac {1}{2}}\tau ^{2}({\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r_{\mathrm {i} }} }}-{\frac {\mathbf {F_{i}} }{m_{i}}})$

с точностью до малых третьего порядка. За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принял величину, пропорциональную квадрату отклонения ${\overline {B_{i}C_{i}}}$, которую называют принуждением. Принуждение выражается следующим образом:

$\Xi \omega ={\frac {1}{2}}m_{i}({\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r_{\mathrm {i} }} }}-{\frac {\mathbf {F_{i}} }{m_{i}}})^{2}$

Просуммировав принуждения для всех точек системы, получим:

$\Xi \omega ={\overset {}{\overset {N}{\underset {i=1}{\sum }}}}{\frac {1}{2}}m_{i}({\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r_{\mathrm {i} }} }}-{\frac {\mathbf {F_{i}} }{m_{i}}})^{2}$

Из указанного в начале статьи определения следует, что для истинного принуждения

$\delta \Xi \omega =0$

причем вариация берется только по ускорению, а координаты и скорости остаются неизменными. Вариацию такого рода называют гауссовой вариацией.

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Принцип наименьшего принуждения. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---