Преобразования Лоренца

В специальной теории относительности преобразованиями Лоренца называются преобразования, которым подвергаются координаты (x, y, z, t) каждого события при переходе от одной ИСО к другой. Аналогично преобразуются координаты любого 4-вектора.

Чтобы явно различить преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчёта и без сдвигов, когда это необходимо, говорят о неоднородных и однородных преобразованиях Лоренца.

Преобразования Лоренца без сдвигов начала отсчёта образуют группу Лоренца, со сдвигами — группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.

С математической точки зрения преобразования Лоренца — это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами преобразования Лоренца — это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени.

Вид преобразований при коллинеарных (параллельных) пространственных осях

Если ИСО K' движется относительно ИСО K с постоянной скоростью $V\$ вдоль оси $x \$, а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Лоренца (прямые) имеют вид:

$x'={\frac {x-Vt}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}},$

$y'=y,\$

$z'=z,\$

$t'={\frac {t-(V/c^{2})x}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}},$

где $c$ — скорость света в вакууме, величины со штрихами измерены в системе K' , без штрихов — в K.

Эта форма преобразования (то есть при выборе коллинеарных осей), называемое иногда бустом или лоренцевским бустом (особенно в англоязычной литературе), несмотря на свою простоту, включает по сути всё специфическое физическое содержание преобразований Лоренца, так как пространственные оси всегда можно выбрать таким образом, а при желании добавить пространственные повороты не представляет трудности (см. это в явном развёрнутом виде ниже), хотя и делает формулы более громоздкими.

• Формулы, выражающие обратное преобразование, то есть выражающие $x,y,z,t\$ через $x',y',z',t'\$можно получить просто заменой $V$ на $-V$ (абсолютная величина относительной скорости движения систем отсчёта |V| одинакова при измерении её в обеих системах отсчёта, поэтому можно при желании снабдить V штрихом, только при этом надо внимательно следить за тем, чтобы знак и определение соответствовали друг другу) и взаимной заменой штрихованных x и t с нештрихованными.
• Надо иметь ввиду, что в литературе преобразования Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где $c = 1$, что действительно делает их вид более изящным.

• Видно, что при преобразованиях Лоренца события, одновременные в одной системе отсчёта, не являются одновременными в другой (относительность одновременности), кроме того у движущегося тела сокращается продольный размер по сравнению с тем, какой оно имеет в сопутствующей ему системе отсчёта (лоренцево сокращение), а ход движущихся часов замедляется, если наблюдать их из «неподвижной» системы отсчёта (релятивистское замедление времени).

Вывод преобразований

Преобразования Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым c), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Пуанкаре — см. ниже). Однако впервые были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла (то есть по сути — которые не меняют законов электродинамики и оптики). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта — принципа относительности — на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом c в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований.

Алгебраический вывод

На основании нескольких естественных предположений (основным из которых является предположение о существовании принципиально максимальной скорости распространения взаимодействий) можно показать, что при смене ИСО должна сохраняться величина

$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 -dz^2$,

называемая интервалом. Из этой теоремы напрямую следует общий вид преобразований Лоренца (см. ниже). Здесь рассмотрим лишь частный случай. Для наглядности при переходе в ИСО K ', движущуюся со скоростью V, выберем в исходной системе K ось X сонаправленной с V, а оси Y и Z расположим перпендикулярно оси X. Оси ИСО K ' выберем сонаправленными с осями ИСО K. При таком преобразовании

$y'=y,~~z'=z,~~c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}$

Мы будем искать линейные преобразования Лоренца, так как при бесконечно малых преобразованиях координат дифференциалы новых координат линейно зависят от дифференциалов старых координат, а в силу однородности пространства и времени коэффициенты не могут зависеть от координат, только от взаимной ориентации и скорости ИСО.

То, что поперечные координаты не могут меняться, ясно из соображений изотропности пространства. Действительно, величина y ' не может изменяться и при этом не зависеть от x (кроме как при вращении вокруг V, которое мы исключаем из рассмотрения), в чём легко убедиться подстановкой таких линейных преобразований в выражение для интервала. Но если она зависит от x, то точка с координатой (0,x,0,0) будет иметь ненулевую координату y ', что противоречит наличию симметрии вращения системы относительно V и изотропии пространства. Аналогично для z '.

Наиболее общий вид таких преобразований:

$y'=y,~~z'=z,~~ct'=ct\,\operatorname {ch} {\alpha }-x\,\operatorname {sh} {\alpha },~~x'=x\,\operatorname {ch} {\alpha }-ct\,\operatorname {sh} {\alpha }$

где $\alpha$ — некоторый параметр, называемый быстротой. Обратные преобразования имеют вид

$y=y',~~z=z',~~ct=ct'\,\operatorname {ch} {\alpha }+x'\,\operatorname {sh} {\alpha },~~x=x'\,\operatorname {ch} {\alpha }+ct'\,\operatorname {sh} {\alpha }$

Ясно, что точка, покоящаяся в ИСО K, должна будет двигаться в ИСО K ' со скоростью -V. С другой стороны, если точка покоится, то

$dx=0=dx'\,\operatorname {ch} {\alpha }+cdt'\,\operatorname {sh} {\alpha }$

${\frac {dx'}{cdt'}}=-{\frac {V}{c}}=-\operatorname {th} {\alpha }~\Rightarrow ~\operatorname {th} {\alpha }={\frac {V}{c}}$

Учитывая, что при смене ИСО не должна меняться ориентация пространства, получим что

$\operatorname {ch} {\alpha }\geq 0$

Следовательно, уравнение для быстроты однозначно разрешимо:

$\operatorname {ch} {\alpha }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},~~\operatorname {sh} {\alpha }={\frac {V}{c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}}$

а преобразования Лоренца имеют вид

$\ x'=\gamma (x-Vt)$

$\ t'=\gamma (t-{\frac {V}{c^{2}}}x)$

$\gamma =\operatorname {ch} {\alpha }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}$

Параметр $\gamma$ называется лоренц-фактором.

Разные формы записи преобразований

Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами преобразований в более общем случае. Для этого радиус-вектор точки

$\mathbf{r'} = \mathbf{i}x' + \mathbf{j}y' + \mathbf{k}z'$,

где $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ — орты, надо разбить на составляющую $\mathbf{r'_\|}$ параллельную скорости и составляющую $\mathbf{r'_\perp}$ ей перпендикулярную

$\mathbf{r'} = \mathbf{r'_\|} + \mathbf{r'_\perp}$.

Тогда преобразования получат вид

$\mathbf {r_{\|}} ={\frac {\mathbf {r'_{\|}} +\mathbf {v} t'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},\mathbf {r_{\perp }} =\mathbf {r'_{\perp }} ,~~t={\frac {t'+(v/c^{2})r_{\|}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$,

где $v = V = \left| \mathbf{v} \right|$ — абсолютная величина скорости, $r_\| = \left| \mathbf{r_\|} \right|$ — абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора.

Эти формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:

$\mathbf{r} = \mathbf{r'} + \frac{1}{v^2}\left( \frac{1-\sqrt{1-v^2/c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right)(\mathbf{r'v})\mathbf{v} + \frac{\mathbf{v}t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

$t=\frac{t'+\mathbf{r'v}/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$.

Обратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к преобразованиям Лоренца трансляцию (смещение начала координат).

Преобразования Лоренца в матричном виде

Для случая коллинеарных осей преобразования Лоренца записываются в виде

${\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {v}{c}}\gamma &0&0\\-{\frac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}$,

где $\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

При произвольной ориентации осей, в форме 4-векторов это преобразование записывается как:

${\begin{bmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {\vec {v}}{c}}\gamma \\-{\frac {\vec {v}}{c}}\gamma &E+{\frac {{\vec {v}}\otimes {\vec {v}}}{v^{2}}}(\gamma -1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{bmatrix}}$

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

где E — единичная матрица 3$\times$3, $\otimes$ — тензорное умножение трехмерных векторов.

Надо иметь ввиду, что в литературе матрица преобразований Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где $c = 1$.

Произвольное однородное преобразование Лоренца можно представить как некоторую композицию вращений пространства и элементарных преобразований Лоренца, затрагивающих только время и одну из координат. Это следует из алгебраической теоремы о разложении произвольного вращения на простые.

Свойства преобразований Лоренца

• Можно заметить, что в случае, когда $c \rightarrow \infty$, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. То же самое происходит в случае, когда $v/c\rightarrow0$. Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона либо в мире с бесконечной скоростью света, либо при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Последее объясняет, каким образом сочетаются эти две теории — первая является обобщением и уточнением второй, а вторая — предельным случаем первой, оставаясь в этом качестве верной приближенно (с некоторой точностью, на практике часто очень и очень большой) при достаточно малых (по сравнению со скоростью света) скоростях движений.

• Преобразования Лоренца сохраняют инвариантным интервал (если проще, то для ортогональной группы есть инвариант — это инвариант двух точек или интервал, как только мы узнали, что преобразования ортогональны, значит расстояние неизменно в любой системе координат, это можно даже не проверять) для любой пары событий — то есть любой пары точек пространства — времени:

$s={\sqrt {c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}}$

Преобразования Лоренца являются некоторым обобщением понятия вращения системы координат. Если рассмотреть четырехмерную поверхность, которую описывают координаты при равенстве интервала нулю, то мы обнаружим, что это поверхность четырехмерного конуса (состоящего из двух частей). Он называется изотропным конусом, внутренюю часть конусов описывает действительный интервал, наружную — мнимый.

• Матрицу преобразования Лоренца при коллинеарных пространственных осях (в системе единиц c=1) можно представить как:

  ${\begin{bmatrix}\mathop {\rm {ch}} \theta &-\mathop {\rm {sh}} \theta &0&0\\-\mathop {\rm {sh}} \theta &\mathop {\rm {ch}} \theta &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

где $\theta =\mathop {\rm {Arth}} (V/c)\$. В этом легко убедиться, учитывая $\mathop {\rm {ch}} ^{2}\theta -\mathop {\rm {sh}} ^{2}\theta =1\$ и проверив выполнение соответствущего тождества для матрицы преобразования Лоренца в обычном виде.

• Если принять введенные Минковским обозначения $x_{0}=ict,x_{1}=x,x_{2}=y,x_{3}=z\$, то преобразование лоренца для такого пространства сводится к повороту на мнимый угол в плоскости, включающей ось $x_0\$ (для случая движения вдоль оси $x_1\$ — в плоскости $x_0x_1$). Это очевидно исходя из подстановки $\mathop {\rm {ch}} \theta =\mathop {\rm {cos}} (i\,\theta ),\ \mathop {\rm {sh}} \theta =-i\,\mathop {\rm {sin}} (i\theta )$ в матрицу, приведенную чуть выше -и немного изменив ее, чтобы учесть вводимую мнимость временной координаты — и сравнении ее с обычной матрицей вращения.

Связанные определения

Лоренц-инвариантность — свойство физических законов записываться одинаково во всех инерциальных системах отсчета(с учетом преобразований Лоренца). Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено. Однако некоторые теории пока не удаётся построить так, чтобы выполнялась Лоренц-инвариантность.

История

Преобразования названы в честь их первооткрывателя — Х. А. Лоренца, который впервые ввел их (вместо преобразований Галилея) в качестве преобразований, связывающих геометрические величины (длины, углы), измеренных в разных инерциальных системах отсчета, чтобы устранить противоречия между электродинамикой и механикой, которые имелись в ньютоновской формулировке, включающей преобразования Галилея, что в конечном итоге привело к успеху при существенной модификации механики.

Сначала было обнаружено, что уравнения Максвелла инвариантны относительно этих преобразований (В.Фогтом в 1887 г.). Это же было повторено Лармором в 1900 г..

В 1892 г. Лоренц ввёл теорию сокращения, предполагающую сокращение длин всех твёрдых тел в направлении движения, количественно совпадающее с тем, что понимается сейчас под лоренцевским сокращением.

В (1900?) (1904?)г. Лоренц обнаружил, что эти преобразования оставляют инвариантными уравнения Максвелла, и применил их также к геометрическим и механическим величинам. Сам Лоренц верил в светоносный эфир и первоначально интерпретировал свои преобразования в терминах эфирных моделей. Только в 1905 г. Пуанкаре и затем Эйнштейн в своей теории относительности пришёл к широко популярной впоследствии формально-аксиоматической трактовке этих преобразований.

Преобразования Лоренца были впервые опубликованы в 1904 г. но в то время их форма была несовершенна. К современному, полностью самосогласованному виду их привёл французский математик А. Пуанкаре.

Пуанкаре же ввел термины «преобразования Лоренца» и «группа Лоренца», показал, исходя из эфирной модели, невозможность обнаружить движение относительно абсолютной системы отсчета (системы, в который эфир неподвижен), модифицировав таким образом принцип относительности Галилея. Ему же принадлежит групповой вывод явного вида преобразований Лоренца (с неопределенным c) без независимого постулата инвариантности скорости света.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7

• Физическая энциклопедия, т.2 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.608 и стр.609.
• Ф. И. Фёдоров Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. 384 с.

См. также

• Интервал (теория относительности)
• Преобразования Галилея
• Сложное движение

ar:تحويلات لورينتز ca:Transformació de Lorentz cs:Lorentzova transformace da:Lorentz-transformation de:Lorentz-Transformation el:Μετασχηματισμοί Λόρεντζ en:Lorentz transformation es:Transformación de Lorentz et:Lorentzi teisendused fa:تبدیلات لورنتس fi:Lorentz-muunnos fr:Transformation de Lorentz gl:Transformación de Lorentz he:טרנספורמציות לורנץ it:Trasformazione di Lorentz ja:ローレンツ変換 ko:로렌츠변환 nl:Lorentztransformatie pl:Transformacja Lorentza pt:Transformação de Lorentz ro:Transformare Lorentz sk:Lorentzova transformácia sl:Lorentzova transformacija sv:Lorentztransformation uk:Перетворення Лоренца zh:洛仑兹变换