Virtual Laboratory Wiki
Advertisement

Преобразование Фурье — преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Более точно, преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию по базисным функциям, в качестве которых выступают синусоидальные (или мнимые экспоненты) функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид (мнимых экспонент) различной частоты, амплитуды и фазы. Преобразование названо по имени Жана Фурье.

Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования, которые будут приведены ниже.

В математике под преобразованиями Фурье принято также понимать любые преобразования представления бесконечномерного вектора при смене одного ортогонального базиса на другой. Например, разложение функции возможно не только по синусоидальному базису, но и по любому полному базису ортогональных нормируемых функций. Все основные формулы при этом полностью аналогичны формулам для синусоидального базиса. Важно, что полный ортогональный базис нередко бывает сравнительно нетрудно построить, причем еще и специально подходящий для конкретной задачи. Для этого достаточно взять все собственные функции линейного оператора весьма широкого класса (для синусов и косинусов таким оператором является оператор дифференцирования второго порядка), для одномерного случая — см. Задача Штурма — Лиувилля.

Применения преобразования Фурье

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

  • Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).
  • Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
  • Синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)
  • По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
  • Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).

Разновидности преобразования Фурье

Многомерное преобразование Фурье

Основная статья: Многомерное преобразование Фурье

Как непрерывное, так и дискретное преобразование Фурье, описываемые для функций одного скалярного аргумента ниже, имеют и многомерную форму, то есть форму для функций нескольких (конечного числа) аргументов или для функций векторного аргумента.

Наиболее простым и прямым аналогом описываемых ниже одномерных преобразований явлется разложение по плоским волнам:

Здесь — размерность пространства аргумента, — фурье-образ функции , — постоянный нормирующий множитель, -мерный векторный аргумент функции , -мерный волновой вектор, аргумент функции , — обозначение элемента -мерного объема области интегрирования, в простейшем случае равное

Обратное преобразование при этом выглядит так:

Область интегрирования в обоих интегралах n-мерная, в простейшем случае совпадает со всем пространством. Постоянные множители и подбирают обычно так, чтобы было равно единице или чтобы (ортонормированный базис).

На случай комплекснозначных и векторнозначных функций обобщение достаточно просто: каждая компонента векторнозначной функции преобразуется отдельно, так же можно поступить при желании и с действительной и мнимой частью комплекснозначной функции.

Многомерное преобразование Фурье может быть и дискретным, которое проще всего получается для на конечной области в форме параллелепипеда, согласованного с осями координат. Для областей другой формы многомерное дискретное преобразование Фурье возможно при выборе несинусоидальных базисных функций.

Непрерывное преобразование Фурье

Основная статья: Непрерывное преобразование Фурье


Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами и комплексными амплитудами . Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

,
,
,

где .

В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение).

См. непрерывное преобразование Фурье для дополнительной информации, включая таблицу преобразований, обсуждение свойств преобразования и разнообразные соглашения. Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».

Ряды Фурье

Основная статья: Ряд Фурье


Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области (с периодом ), и представляют эти функции как ряды синусоид:

,

где — комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:

,

где и — (действительные) амплитуды ряда Фурье.

Дискретное преобразование Фурье

Основная статья: Дискретное преобразование Фурье

Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции , которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет как сумму синусоид:

,

где — амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует операций, этот расчет может быть сделан за операций используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.

Оконное преобразование Фурье

Основная статья: Оконное преобразование Фурье


где даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала в окрестности времени .

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию , эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщенных обоснований преобразования Фурье.

Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов, преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции представляет амплитуды соответствующих частот (), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Таблица важных преобразований Фурье

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье и обозначают фурье компоненты функций и , соответственно. и должны быть интегрируемыми функциями или обобщенными функциями.

Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как , зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).


  Функция Образ Примечания
1 Линейность
2 Запаздывание
3 Частотный сдвиг
4 Если большое, то сосредоточена около 0 и становится плоским
5 Свойство преобразования Фурье от -й производной
6 Это обращение правила 5
7 Запись означает свёртку и . Это правило — теорема о свёртке
8 Это обращение 7
9 означает дельта-функцию Дирака
10 Обращение 9.
11 Здесь, натуральное число, -я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12 Следствие 3 и 10
13 Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера
14 Также из 1 и 12
15 Показывает, что функция Гаусса совпадает со своим изображением
16 Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и sinc функция её временной эквивалент
17 Здесь sign функция. Это правило согласуется с 6 и 10
18 Обобщение 17
19 Обращение 17
20 Здесь функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

Литература

  • Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9


  • М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. — СПб: 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1


См. также

  • Численно-теоретические преобразования
  • Преобразование Лапласа
  • Ортогональные функции
  • Вейвлет
  • Чирплет

Ссылки




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Преобразование Фурье. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Advertisement