Предгильбертово пространство

Предги́льбертово простра́нство в линейной алгебре, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства.

Определение

Пара $\left(X,\langle\cdot , \cdot\rangle\right)$ называется предгильбертовым пространством, если $X$ — линейное пространство, а $\langle\cdot , \cdot\rangle$ — определённое на $X$ скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, т.е. положительно определенное).

Замечание

Предгильбертово простанство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму

$\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X.$

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определенным, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых $x$ (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение дает не норму, а только полунорму.

Пример

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство действительных функций интегрируемых с квадратом

$L^{2}([a,b])=\left\{f\colon [a,b]\to \mathbb {R} \,\left|\,\int \limits _{a}^{b}\!f^{2}(x)\,dx<\infty \right.\right\},$

если скалярное произведение определить как

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}\!f(x)g(x)\,dx,\quad f,g\in L^{2}{\big (}[a,b]{\big )}.$

Введенное таким образом скалярное произведение дает не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L²).

См. также

• Евклидово пространство;
• Гильбертово пространство.

de:Prähilbertraum en:Inner product space es:Espacio prehilbertiano fr:Espace préhilbertien

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Предгильбертово пространство. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---