Позиционная система счисления

Позиционная систе́ма счисле́ния — система счисления, в которой один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Определение[]

Каждая позиционная система счисления определяется некоторым числом $b$ (т. н. основание системы счисления) с $|b|>1$ . Система счисления с основанием $b$ также называется b-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.).

Запись чисел[]

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), целое число $x_{a,b}$ записывают в виде последовательности из n его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

x_{a,b} = a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0.

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

103_{10,10} = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}.

Числа представляемые записью[]

Число, представляемое записью, зависит от весовой функции f(k)=b(k), которая, в общем случае, может быть произвольной, но наибольшее распространение получили системы счисления с показательной весовой функцией f(k)=b^k.

Целое число x_a,b в показательной b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:

x_{a,b} = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k

, где

$a_k$ — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству $0 \leq a_k < |b|$ ,
a - множество из которого берутся цифры a_k,
b - основание весовой показательной функции f(k)=b^k,
n - число цифр в записи числа x_a,b,
k - номер разряда (знакоместа) в записи числа x_a,b,
b_k - весовая функция f(k)=b^k.

Каждая степень $b^k$ в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя степени $k$ . Обычно для ненулевого числа $x_{a,b}$ требуют, чтобы старшая цифра $a_{n-1}$ в b-ричном представлении $x_{a,b}$ была также ненулевой.

Число записываемых чисел[]

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов (чисел) не зависит от основания показательной функции - b, которое определяет диапазон представляемых числами x_а,b величин, и равно числу размещений с повторениями:

$\bar{A}(a,n)=\bar{A}_a^n=a^n$ , где:
a - множество из которого берутся цифры a_k
n - число элементов (цифр) в числе x_a,b.

Диапазон записываемых чисел[]

Примеры позиционных систем счисления[]

С целочисленными основаниями:

1 — единичная (унарная) система счисления, c некоторыми оговорками, относится к позиционным системам счисления.
2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании)
3 — троичная система счисления
8 — восьмеричная (в программировании)
10 — десятичная система счисления
12 — двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых частных областях используется и сейчас)
16 — шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также в шрифтах)
40 — сорокаичная система счисления (применялась в древности ("сорок сороков = 1600"))
60 — шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты)

Так же существуют позиционные системы с отрицательными основаниями (нега-позиционные):

-2 — нега-двоичная система счисления
-10 — нега-десятичная система счисления

Иногда также рассматривают позиционные системы с нецелочисленными основаниями:

2,71... = е — е-ричная система счисления с основанием, равным числу Эйлера (применяется в натуральных логарифмах)

Запись[]

Для записи чисел системы счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и затем буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т. д., иногда x = 10.

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:

123_{10}

— это число 123 в десятичной системе счисления;

1111011_2

— то же число, но в двоичной системе.

В некоторых специальных областях применяются особые правила указания основания. Например, в программировании шестнадцатеричная система обозначается:

в ассемблере и записях общего рода, не привязанных к конкретному языку, буквой h (от hexadecimal) в конце числа (синтаксис Intel);
в Паскале знаком «$» в начале числа;
в C и многих других языках комбинацией 0x или 0X (от hexadecimal) в начале.

В некоторых диалектах языка Си по аналогии с «0x» используется префикс «0b» для обозначения двоичных чисел. (Обозначение «0b» не входит в стандарт ANSI C.)

Свойства[]

Позиционная система счисления обладает рядом свойств:

Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2.
Для записи числа x в b-ричной системе счисления требуется $\lfloor\log_b x\rfloor + 1$ цифр, где $\lfloor\cdot\rfloor$ означает взятие целой части числа.
Сравнение чисел. Сравним числа 321 и 312. Для этого слева направо сравниваем цифры, стоящие в одинаковых разрядах: 3 = 3 — результат сравнения чисел не определён; 2 > 1 — первое число больше независимо от оставшихся цифр.
Сложение чисел. Сложим 321 и 312. Для этого справа налево складываем отдельные цифры:
1 + 2 = 3

2 + 1 = 3

3 + 3 = 6, итого 633.
Таким же образом можно сложить числа произвольной длины.

Плотность записи информации в позиционных системах счисления[]

При условии равновероятности появления каждой из цифр в записи числа информационная энтропия записи n-значного числа в системе счисления с основанием b принимает значение $n\frac{\ln b}{b}$ (с точностью до постоянного коэффициента). Поэтому плотность записи (т.е. количество информации на одну позицию) чисел в системе счисления с основанием b равна $\frac{\ln(b)}{b}$ .

Плотность записи, как функция от b, принимает максимальное значение в точке при b= $e=2,718281828\ldots$ . Таким образом, наибольшей плотностью записи информации обладает система счисления с нецелочисленным основанием равным e. Из систем счисления с целочисленными основаниями наибольшей плотностью записи информации обладает троичная система счисления. Двоичная и четверичная системы счисления делят второе место. Остальные целочисленные системы счисления имеют меньшую плотность записи информации.

Переход к другому основанию[]

Перевод произвольной позиционной системы счисления в десятичную[]

Если число в b-ричной системе счисления равно

a_1\;a_2\;a_3 \ldots a_n,

то для перевода в десятичную систему вычисляем такую сумму:

\sum_{i=1}^n a_i\cdot b^{n-i}

или, в более наглядном виде:

a_1\cdot b^{n-1} + a_2 \cdot b^{n-2} + \ldots + a_{n-1} \cdot b^1 + a_n \cdot b^0,

либо, наконец, в виде схемы Горнера:

((\ldots(a_1 \cdot b + a_2) \cdot b + a_3) \ldots ) \cdot b + a_n.

Например:

101100₂ =

= 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 0 · 1 =

= 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 =

= 32 + 8 + 4 + 0 = 44₁₀

Пример на C для перевода 18 в 7-ричную систему выглядит так: (корректно работает до основания 10, дальше появятся «цифры» :;<=>?@012 и т.д.)

void perevod( unsigned int num, unsigned int base )
{
  #define LENGTH ( 8 * sizeof( unsigned int ) ) /* размер с запасом */

  char str[ LENGTH + 1]; /* +1 для символа [[EOS]] */
  char *pstr = str + LENGTH - 1; /* начинаем заполнять цифрами с конца */

  str[ LENGTH ] = '\0'; /* добавляем EOS */

  if( num == 0 ) *pstr = '0'; /* если цикл не будет крутиться */
  else
    do
    {
      *pstr-- = '0' + num % base; /* заполняем цифрами, сдвигаясь влево */
      num /= base;
    }
    while( num > 0 );

  printf( "%s\n", pstr + 1 ); /* печатаем, начиная с 1го ненулевого символа */

  #undef LENGTH /* уже не нужно */
}

void main()
{
  perevod( 18, 7 );
}

Перевод из десятичной в произвольную позиционную систему счисления[]

Для перевода необходимо делить число с остатком на основание счисления до тех пор, пока частное больше основания счисления.

Пример:

 $44_{10}$  переведём в двоичную систему
44 делим на 2. частное 22, остаток 0
22 делим на 2. частное 11, остаток 0
11 делим на 2. частное  5, остаток 1
 5 делим на 2. частное  2, остаток 1
 2 делим на 2. частное  1, остаток 0
 1 делим на 2. частное  0, остаток 1
Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки справа налево получим число  $101100_2$

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы[]

Для этого типа операций существует упрощенный алгоритм.

Для восьмеричной — разбиваем число на триплеты, преобразуем триплеты по таблице

000 0 100 4
001 1 101 5
010 2 110 6
011 3 111 7

Для шестнадцатеричной — разбиваем на квартеты, преобразуем по таблице

0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 
0001 1 0101 5 1001 9 1101 D
0010 2 0110 6 1010 A 1110 E
0011 3 0111 7 1011 B 1111 F

Пример:

преобразуем 101100₂
восьмеричная — 101 100 → 54₈
шестнадцатеричная — 0010 1100 → 2C₁₆

Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную[]

Для этого типа операций существует упрощенный алгоритм-перевёртыш.

Для восьмеричной — преобразуем по таблице в триплеты

0 000 4 100
1 001 5 101
2 010 6 110
3 011 7 111

Для шестнадцатеричной — преобразуем по таблице в квартеты

0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 
1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Пример:

преобразуем 
54₈ → 101 100
2C₁₆ → 0010 1100

См. Таблица порядков двоичных, шестнадцатеричных и десятичных чисел

Перевод из произвольной системы счисления в десятичную[]

Рассмотрим пример перевода двоичного числа 1100,011₂ в десятичное. Целая часть этого числа равна 12 (см. выше), а вот перевод дробной части рассмотрим подробнее:

$0,011 = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} = 0 + 0,25 + 0,125 = 0,375.$

Итак, число 1100,011₂ = 12,375₁₀.

Точно также осуществляется перевод из любой системы счисления, только вместо «2» ставится основание системы.

Для удобства перевода, целую и дробную части числа почти всегда переводят по-отдельности, а результат потом суммируют.

Перевод из двоичной системы в 8- и 16-ричную[]

Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с основаниями 8 и 16 осуществляется точно также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на октавы и тетрады идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например, рассмотренное выше число 1100,011₂ будет выглядеть как 14,3₈ или C,6₁₆.

Перевод из десятичной системы в произвольную[]

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основание той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль. Ниже приводится пример перевода числа 103,625₁₀ в двоичную систему счисления.

Переводим целую часть по правилам, описанным выше, получаем 103₁₀ = 1100111₂.
0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1.
0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0.
0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.
Итак, сверху вниз получаем число 101₂
103,625₁₀ = 1100111,101₂

Точно также осуществляется перевод в системы счисления с любым основанием.

Сразу нужно отметить, что этот пример специально подобран, в общем случае очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев, перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков после запятой — тем точнее приближение результата перевода к истине. В этих словах легко убедиться, если попытаться, например, перевести в двоичный код число 0,626.

Запись рациональных чисел[]

Рациональное число x в b-ричной системе счисления представляется в виде линейной комбинации (вообще говоря, бесконечной) степеней числа b:

x = a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{\infty} c_k b^{-k}

где $a_k$ — цифры целой части дробного числа (до запятой), $c_k$ - цифры дробной части дробного числа (после запятой), n — число разрядов целой части дробного числа (до запятой).

Только числа, представимые в виде $\frac{q}{b^m}$ для целых m и q, обладают конечной записью в b-ричной системе счисления.

Симметричные позиционные системы счисления[]

Такие системы счисления отличаются от обычных тем, что используют цифры не из множества $(0, \ldots, b-1)$ , а из множества $(-\frac{b-1}{2}, -\frac{b-3}{2}, \ldots, \frac{b-1}{2})$ . Чтобы цифры были целыми, нужно, чтобы b было нечётным. В симметричных системах счисления не требуется дополнительных обозначений для знака числа. Кроме того, вычисления в симметричных системах удобны тем, что не требуется особых правил округления — оно сводится к простому отбрасыванию лишних разрядов, что резко уменьшает систематические ошибки вычислений.

Чаще всего используется симметричная троичная система счисления с цифрами (-1,0,1). Она применяется в троичной логике и была технически реализована в вычислительной машине «Сетунь».

Системы счисления с дробным основанием[]

Работа с дробными числами в системах счисления не нашла особой популярности, такие расчеты не поддерживет ни один калькулятор, да и компьютер производит операции с дробными числами по-своему. Основная причина такой непопулярности — невозможность в большинстве своём точного перевода десятичной дробной части в дробную часть в другой системе счисления; обратный же перевод можно осуществить всегда. Тем не менее, такие расчёты существуют.

До этого в рассмотренных примерах показателем стенени основания системы счисления являлось натуральное число, но ничто не мешает перевести показатель степени в диапазон целых чисел, т.е. расширить его в отрицательную полуплоскость. При этом формула, данная в определении будет также верна.

Рассмотрим пример: число 103,625 можно представить как

$103,625 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0} + 6 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2} + 5 \cdot 10^{-3}.$

Таким образом, из примера видно, что не только целое, но и дробное число можно представить как комбинацию из цифр системы счисления.

См. также[]

Википедия. Позиционная система счисления

Ссылки[]

Л. Н. Беляева., «Системы счисления и признаки делимости».
С. Б. Гашков. Системы счисления и их применение, Серия "Библиотека «Математическое просвещение»", выпуск 29, 2004.
С. В. Фомин, «Системы счисления». «Популярные лекции по математике», выпуск 40, М., «Наука» 1987 г., 48 стр.
Яглом И., «Системы счисления», Квант, № 6, 1970.
Что такое система счисления?

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Позиционная система счисления. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .