Отрицательное биномиальное распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры
r
>
0
{\displaystyle r > 0\!}
p
∈
(
0
;
1
)
{\displaystyle p \in (0;1)\!}
q
≡
1
−
p
{\displaystyle q\equiv 1-p\,}
Носитель
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle k \in \{0,1,2,\ldots\}\!}
Функция вероятности
Γ
(
r
+
k
)
k
!
Γ
(
r
)
p
r
q
k
{\displaystyle \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,q^k \!}
Функция распределения
I
p
(
r
,
k
+
1
)
{\displaystyle I_p(r,k+1)\!}
Математическое ожидание
r
q
p
{\displaystyle r\,\frac{q}{p}\!}
Медиана
Мода
⌊
(
r
−
1
)
q
/
p
⌋
{\displaystyle \lfloor(r-1)\,q/p\rfloor\!}
r
>
1
{\displaystyle \ r>1 \ }
0
{\displaystyle 0}
r
≤
1
{\displaystyle r\le 1}
Дисперсия
r
q
p
2
{\displaystyle r\,\frac{q}{p^2}\!}
Коэффициент асимметрии
2
−
p
r
q
{\displaystyle \frac{2-p}{\sqrt{r\,q}}\!}
Коэффициент эксцесса
6
r
+
p
2
r
q
{\displaystyle \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,q}\!}
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
(
p
1
−
q
e
t
)
r
{\displaystyle \left(\frac{p}{1-q e^t}\right)^r \!}
Характеристическая функция
(
p
1
−
q
e
i
t
)
r
{\displaystyle \left(\frac{p}{1-q e^{i\,t}}\right)^r \!}
Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха
p
{\displaystyle p}
r
{\displaystyle r}
Определение [ ] Пусть
{
X
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle \{ X_i \}_{i=1}^\infty}
независимых случайных величин с распределением Бернулли , то есть
X
i
=
{
1
,
p
0
,
q
≡
1
−
p
,
i
∈
N
.
{\displaystyle X_i = \left\{
\begin{matrix}
1, & p \\
0, & q \equiv 1-p
\end{matrix} \right.,\; i\in \mathbb{N}.}
Построим случайную величину
Y
{\displaystyle Y}
k
+
r
{\displaystyle k+r}
r
{\displaystyle r}
Y
=
k
{\displaystyle Y = k}
S
n
=
∑
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i}
Y
=
inf
{
n
∣
S
n
=
r
}
−
r
{\displaystyle Y = \inf\{n \mid S_n = r\} - r}
Распределение случайной величины
Y
{\displaystyle Y}
Y
∼
N
B
(
r
,
p
)
{\displaystyle Y \sim \mathrm{NB}(r,p)}
Функции вероятности и распределения [ ] Функция вероятности случайной величины
Y
{\displaystyle Y}
P
(
Y
=
k
)
=
(
k
+
r
−
1
k
)
p
r
q
k
,
k
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle \mathbb{P}(Y = k) = \binom{k+r-1}{k}\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots}
Функция распределения
Y
{\displaystyle Y}
целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию :
F
Y
(
k
)
=
I
p
(
r
,
k
+
1
)
{\displaystyle F_Y(k) = I_p( r, k+1 )}
Моменты [ ] Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:
M
Y
(
t
)
=
(
p
1
−
q
e
t
)
r
{\displaystyle M_Y(t) = \left(\frac{p}{1 - q e^t}\right)^r}
откуда
E
[
Y
]
=
r
q
p
{\displaystyle \mathbb{E}[Y] = r \frac{q}{p}}
D
[
Y
]
=
r
q
p
2
{\displaystyle \mathrm{D}[Y] = r \frac{q}{p^2}}
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке Отрицательное биномиальное распределение . Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок CC-BY-SA .
![{\displaystyle \mathbb {E} [Y]=r{\frac {q}{p}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/acdc1eb26dd3b6f44f493b0517cab2877ce6bf61)
![{\displaystyle \mathrm {D} [Y]=r{\frac {q}{p^{2}}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/20ab23c76424613add110380baa6948dd0901da8)
