Оптическая теорема

Оптическая теорема - соотношение в волновой теории рассеяния, связывающее амплитуду рассеяния $f(\theta)$ и сечение рассеяния $\sigma$.

Оптическая теорема формулируется следующим образом:

$\sigma=\frac{4\pi}{k}~Im\,f(0),$

где $f(0)$ — амплитуда рассеяния вперёд, $\sigma$ — сечение рассеяния, $k$ — волновой вектор падающей волны. Так как теорема является следствием закона сохранения энергии (в квантовой механике — вероятности), то она является довольно общим утверждением, имеющим широкую область применения.

Более общий вид теоремы

$f(\bold{n, n^{'}})-f^{*}(\bold{n^{'},n})=\frac{i k}{2 \pi} \int f(\bold{n, n^{''}}) f^{*}(\bold{n^{'}, n^{''}}) d\omega^{''}$

Доказательство

Асимптотический вид амплитуды рассеяния на больших расстояниях:

$\psi \approx e^{i k r \bold{(n, n^{'})}} + \frac{1}{r} f(\bold{n, n^{'}}) e^{i k r}$,

где $\bold n$ — направление падения частиц, ${\mathbf {n^{'}}}$ — направление рассеяния.

Любая линейная комбинация функций $\psi$ с различными направлениями падения также представляет некий возможный процесс рассеяния. Умножив $\psi$ на произвольные коэффициенты $F(\bold{n})$ и проинтегрировав по всем направлениям $\bold n$, получим такую линейную комбинацию в виде интеграла

$\int F(\bold{n}) e^{i k r \bold{(n, n^{'})}} d\Omega + \frac{e^{i k r}}{r} \int F(\bold{n}) f(\bold{n, n^{'}}) d\Omega$

Поскольку расстояние $r$ велико, то множитель $e^{i k r \bold{n, n^{'}}}$ в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора $\bold n$. Значение интеграла определяется потому в основном областями вблизи тех значений $\bold n$, при которых показатель экспоненты имеет экстремум (${\mathbf {n}}\pm {\mathbf {n^{'}}}$). В каждой из этих областей множитель $F({\mathbf {n}})\approx F(\pm {\mathbf {n^{'}}})$ можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование дает

$2\pi iF(-{\mathbf {n^{'}}}){\frac {e^{-ikr}}{kr}}-2\pi iF({\mathbf {n^{'}}}){\frac {e^{ikr}}{r}}+{\frac {e^{ikr}}{r}}\int f({\mathbf {n,n^{'}}})F({\mathbf {n}})d\Omega .$

Перепишем это выражение в более компактном виде, опустив общий множитель $2 \pi i / k$:

${\frac {e^{-ikr}}{r}}F(-{\mathbf {n^{'}}})-{\frac {e^{ikr}}{r}}{\hat {S}}F({\mathbf {n^{'}}})$,

где

$\hat{S}=1\,+\,2 i k \hat{f}$,

а $\hat f$ — интегральный оператор:

${\hat {f}}F({\mathbf {n^{'}}})={\frac {1}{4\pi }}\int f({\mathbf {n,n^{'}}})F({\mathbf {n}})d\Omega$.

Первый член волновой функции описывает сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящихся и расходящихся волнах. Другими словами, эти волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния $\hat{S}$ должен быть унитарным, то есть

$\hat{S} \hat{S}^{+} = \hat{1}$,

или (с учетом выражения для $\hat{S}$):

$\hat{f}-\hat{f}^{+} = 2 i k \hat{f} \hat{f}^{+}$.

Наконец, учитывая определение $\hat f$, получаем утверждение теоремы

$f(\bold{n, n^{'}})-f^{*}(\bold{n^{'},n})=\frac{i k}{2 \pi} \int f(\bold{n, n^{''}}) f^{*}(\bold{n^{'}, n^{''}}) d\Omega^{''}$.

Ссылки

• Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц Курс теоретической физики. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. — ISBN 5-9221-0530-2

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Оптическая теорема. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---