Оператор Д’Аламбера

Оператор Д’Аламбера (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) — дифференциальный оператор 2-го порядка

$\square u \equiv \Delta u - {1 \over c^2}{\partial^2u \over \partial t^2}$,

где $\Delta$ — оператор Лапласа, с — постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком.

Имеет в декартовых координатах вид:

${\partial^2 u \over \partial x^2} + {\partial^2 u \over \partial y^2} + {\partial^2 u \over \partial z^2} - {1 \over c^2}{\partial^2 u \over \partial t^2}$,

позволяющий прямое обобщение на любую конечную размерность пространства, как больше, так и меньше трёх (такое обобщение носит также название оператора Д'Аламбера, с добавлением, если это не ясно из контекста, «n -мерный»).

Назван по имени Ж. Д'Аламбера (J. D'Alembert, 1747), который рассматривал его простейший вид при решении одномерного волнового уравнения.

Применяется в электродинамике, акустике и других задачах распространения волн (преимущественно линейных). Оператор Д'Аламбера (соответствующей размерности) входит в волновое уравнение любой размерности, составляя его основу, а также в Уравнение Клейна — Гордона — Фока.

Нетрудно видеть, что оператор Д'Аламбера есть обобщение оператора Лапласа на случай пространства Минковского.

Запись в криволинейных координатах

Оператор Д’Аламбера в сферических координатах:

${1 \over r^2}{\partial \over \partial r} \left( r^2{\partial u \over \partial r} \right)+{1 \over r^2\sin^2 \Theta}{\partial \over \partial \Theta} \left( \sin \Theta {\partial u \over \partial \Theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2 \Theta}{\partial^2 u \over \partial \phi^2} - {1\over c^2}{\partial^2 u \over \partial t^2};$

в цилиндрических координатах:

${1 \over \rho^2}{\partial \over \partial \rho} \left( \rho ^2{\partial u \over \partial \rho}\right)+{1 \over \rho ^2}{\partial ^2u \over \partial \phi ^2}+{\partial ^2u \over \partial z^2}- {1\over c^2}{\partial^2 u \over \partial t^2};$

в общих криволинейных координатах (для пространства-времени):

$\square u \equiv {1 \over \sqrt{-g}}{\partial \over \partial x_\nu} \left( \sqrt{-g}\, g^{\mu \nu}{\partial u \over \partial x_\mu}\right),$

где $~g$ — определитель матрицы $\| g_{\mu \nu} \|$, составленной из коэффициентов метрического тензора $~g_{\mu\nu}$.

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Оператор Д’Аламбера. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---