Непрерывное равномерное распределение

Непрерывное равномерное распределение

Плотность вероятности Плотность непрерывного равномерного распределения
Функция распределения Функция распределения непрерывного равномерного распределения
Параметры	$a,b \in (-\infty,\infty)$, $a$ - коэффициент сдвига, $b-a$ - коэффициент масштаба
Носитель	$a \le x \le b$
Плотность вероятности	$\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & a \le x \le b \\ \\ 0 & \ x<a\ ,\ x>b \end{matrix}$
Функция распределения	$\begin{matrix} 0 & x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ a \le x < b \\ 1 & x \ge b \end{matrix}$
Математическое ожидание	$\frac{a+b}{2}$
Медиана	$\frac{a+b}{2}$
Мода	любое число из отрезка $[a, b]$
Дисперсия	$\frac{(b-a)^2}{12}$
Коэффициент асимметрии	$0$
Коэффициент эксцесса	$-\frac{6}{5}$
Информационная энтропия	$\ln(b-a)$
Производящая функция моментов	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$
Характеристическая функция	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$

Непреры́вное равноме́рное распределе́ние — в теории вероятностей распределение, характеризующееся тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины.

Определение

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке $[a, b]$, где $a,b\in \mathbb{R}$, если её плотность $f_X(x)$ имеет вид:

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} {1 \over b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b] \end{matrix} \right..$

Пишут: $X \sim U[a,b]$. Иногда значения плотности в граничных точках $x=a$ и $x = b$ меняют на другие, например $0$ или ${1 / 2(b-a)}$. Так как интеграл Лебега от плотности не зависит от поведения последней на множествах меры нуль, эти вариации не влияют на вычисления связанных с этим распределением вероятностей.

Функция распределения

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:

$F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \le x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x < a \\ {x-a \over b-a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \ge b \end{matrix} \right..$

Так как плотность равномерного распределения разрывна в граничных точках отрезка $[a, b]$, то функция распределения в этих точках не является дифференцируемой. В остальных точках справедливо стандартное равенство:

$\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{a,b\}$.

Производящая функция моментов

Простым интегрированием получаем:

$M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}$,

откуда находим все интересующие моменты непрерывного равномерного распределения:

$\mathbb{E}\left[X\right] = \frac{a+b}{2}$,

$\mathbb{E}\left[X^2\right] = \frac{a^2+ab+b^2}{3}$,

$\operatorname{D} X = \frac{(b-a)^2}{12}$.

Вообще,

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=1}^n{a^k b^{n-k}}$.

Стандартное равномерное распределение

Если $a = 0$, а $b=1$, то есть $X \sim U[0,1]$, то такое непрерывное равномерное распределение называют стандартным. Имеет место элементарное утверждение:

Если случайная величина $X \sim U[0,1]$, и $Y = a+(b-a)X$, где $a < b$, то $Y \sim U[a,b]$.

Таким образом, имея генератор случайной выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, легко построить генератор выборки любого непрерывного равномерного распределения.

Более того, имея такой генератор и зная функцию обратную к функции распределения случайной величины, можно построить генератор выборки любого непрерывного распределения (не обязательно равномерного) с помощью метода обратного преобразования. Поэтому, стандартно равномерно распределённые случайные величины иногда называют базовыми случайными величинами.

См. также

• Дискретное равномерное распределение;
• Метод обратного преобразования.

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Непрерывное равномерное распределение. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---