Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.
Определения[]
Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:
- -м нача́льным моментом случайной величины где называется величина
- если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;
- -м центра́льным моментом случайной величины называется величина
- -м факториальным моментом случайной величины называется величина
- если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
Замечания[]
- Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков
- В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:
- и т. д.
Геометрический смысл некоторых моментов[]
- равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
- равняется дисперсии распределения и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
- , будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
- называется коэффициентом асимметрии.
- контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
- называется коэффициентом эксцесса распределения
Вычисление моментов[]
- Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью имеем:
если
если
- Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию :
- Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
Обобщения[]
Можно также рассматривать нецелые значения . Момент, рассматриваемый как функция от аргумента , называется преобразованием Меллина.
Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). Итд.
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Моменты случайной величины. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .