Матрица плотности

Матрица плотности (оператор плотности) — один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так и смешанные состояния. Основанный на понятии оператора плотности формализм был предложен Дж. фон Нейманом и независимо Л. Д. Ландау и Ф. Блохом в 1927 году.

Определение

Матрица плотности — это неотрицательный ядерный эрмитов оператор с единичным следом в гильбертовом пространстве. Равенство следа единице соответствует единичной нормировке полной вероятности на данном пространстве состояний.

В качестве стандартного обозначения для матрицы плотности применяется буква $\rho$. Матрицей плотности, отвечающим чистому квантовому состоянию $|\psi {\mathcal {i}},$ является ортогональный проектор на соответствующую волновую функцию:

$\rho =|\psi {\mathcal {i}}{\mathcal {h}}\psi |$.

Смешанное состояние, отвечающее случаю, когда система находится в каждом из взаимно ортогональных состояний $|\psi _{j}{\mathcal {i}}$ с вероятностью $p_j$, описывается оператором плотности вида

$\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}{\mathcal {i}}{\mathcal {h}}\psi _{j}|$

Среднее значение наблюдаемой $A$ для состояния, заданного матрицей плотности $\rho$, представляет собой след произведения операторов $A$ и $\rho$:

${\mathcal {h}}A{\mathcal {i}}=\operatorname {Sp} (A\rho )$.

Несложно видеть, что обычное правило нахождения средней от наблюдаемой для чистых состояний представляет собой частный случай этой формулы.

Свойства

• Производная по времени от оператора плотности гамильтоновой квантовой системы выражается через коммутатор с гамильтонианом в виде уравнения

  ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{\imath \hbar }}[{\mathcal {H}};\rho ]$

Это уравнение часто называется квантовым уравнением Лиувилля и уравнением фон Неймана.

Применение

Использование оператора плотности становится необходимым, если состояние квантовомеханической системы по тем или иным причинам не может быть рассмотрено как чистое. Такое положение имеет место, в частности, в квантовой статистике. При этом оператор плотности оказывается естественным аналогом фигурирующей в классической статистической механике функции распределения плотности в фазовом пространстве. Кроме того, существует трактовка квантовомеханической процедуры измерения как перехода из исходного чистого состояния $|\psi {\mathcal {i}}$ в смешанное состояние

$\rho =\sum _{j}|e_{j}{\mathcal {i}}|{\mathcal {h}}e_{j}|\psi {\mathcal {i}}|^{2}{\mathcal {h}}e_{j}|$,

где $|e_{j}{\mathcal {i}}$ суть отвечающие выбранному полному набору измеряемых величин базисные векторы.

Численный пример

Рассмотрим систему, состоящую из двух частей (А и B), каждая из которых может находиться в двух состояниях 0 и 1. Вектор типа $|01{\mathcal {i}}$ означает, что подсистема А находится в состоянии 0 (пусть она стоит на первой позиции), а подсистема B — в состоянии 1.

Если система замкнута (чистое состояние), то мы можем записать для нее вектор состояния, например, в стандартном базисе:

$|\psi {\mathcal {i}}=a|00{\mathcal {i}}+b|01{\mathcal {i}}+c|10{\mathcal {i}}+d|11{\mathcal {i}}$,

где a, b, c, d — в общем случае комплексные числа (амплитуды) и выполняется условие нормировки $|a|^{2}+|b|^{2}+|c|^{2}+|d|^{2}=1$.

Вектор состояния $|\psi {\mathcal {i}}$ описывает все возможные состояния системы, и их бесконечное число, поскольку амплитуды заданы на множестве комплексных чисел. То есть a, b, c, d могут быть любыми числами (удовлетворяющими условию нормировки), как вещественными, так и комплексными, и таких чисел бесконечно много.

Матрица плотности для чистого состояния записывается как проектор |Ψ><Ψ| (вектор-столбец (3.1) нужно умножить на комплексно сопряженную строку). Это матрица 4 × 4 и по диагонали в ней стоят $|a|^{2},|b|^{2},|c|^{2},|d|^{2}$ — это вероятности нахождения системы в каждом из четырех возможных собственных состояний |00>, |01>, |10>, |11> соответственно. Сумма вероятностей этих состояний (след матрицы плотности) равна 1 (условие нормировки). Недиагональные элементы характеризуют корреляции (взаимодействия) между четырьмя различными состояниями системы, в них содержится информация о градиентах энергии, возникающих в ней.

Состояние $|\psi >$ может быть максимально запутанным, например, одно из них:

$|\psi {\mathcal {i}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00{\mathcal {i}}+|11{\mathcal {i}})$

Матрица плотности в этом случае равна:

$\rho ={\begin{pmatrix}{1/2}&0&0&{1/2}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\{1/2}&0&0&{1/2}\\\end{pmatrix}}$.

То есть система с равной вероятностью 1/2 находится в состояниях $|00{\mathcal {i}}$ и $|11{\mathcal {i}}$ («кот ни жив, ни мертв») — это диагональные элементы. И корреляции между этими состояниями максимальны (недиагональные элементы). Мы видим, что недиагональные элементы равны друг другу и расположены симметрично, как и должно быть для любой матрицы плотности.

При измерении этого нелокального состояния (при декогеренции) мы получим одно из двух классических локальных (сепарабельных) состояний $|00{\mathcal {i}}$ или $|11{\mathcal {i}}$ с равной вероятностью.

Существует простой способ проверить, относится ли какая-либо матрица плотности к чистому состоянию или нет. Если умножить матрицу саму на себя, и она при этом не изменится (получится та же самая матрица), то есть если выполняется равенство $\rho ^{2}=\rho$, то можно сразу сказать, что данная матрица плотности описывает чистое состояние, и для него может быть записан вектор состояния. Такие матрицы, которые не меняются при умножении самой на себя, называются идемпотентными. Таким образом, любая матрица плотности чистого состояния — идемпотентная.

Если система незамкнутая (открытая), то это смешанное состояние, и тогда она не описывается вектором состояния, но ее по-прежнему можно описать матрицей плотности. Например, максимально смешанное состояние:

$\rho ={\begin{pmatrix}{1/4}&0&0&0\\0&{1/4}&0&0\\0&0&{1/4}&0\\0&0&0&{1/4}\\\end{pmatrix}}$.

Его уже нельзя записать в виде вектора состояния (3.1). В этом случае нет корреляций между состояниями |00ñ |01ñ |10ñ |11ñ, и при измерении можно получить любое из этих состояний с равной вероятностью 1/4.

Замечу, что матрица плотности такого вида получается, если мы хотим описать состояние одной из подсистем, например А, в случае максимально запутанного состояния типа (3.2). Так, если мы возьмем частичный след по подсистеме B и получим частичную матрицу плотности размерностью 2 × 2, которая описывает подсистему А, то эта матрица плотности будет соответствовать максимально смешанному состоянию и иметь вид:

$\rho ={\begin{pmatrix}{1/2}&0\\0&{1/2}\\\end{pmatrix}}$.

Подсистема А с равной вероятностью 1/2 может находиться в состоянии |0ñ или |1ñ.

Литература

• С.И. Доронин, Квантовая магия

• Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения, — М.: Мир, 1983. 248 c.
• Белоусов Ю. М., Манько В. И. Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике.  М.: МФТИ, 2004.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5

§ 14.

• Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, — М.: Наука 1964.

Ссылки

• [1]

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Матрица плотности. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---