Virtual Laboratory Wiki
Advertisement


Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения случайной величины в теории вероятностей. В зарубежной литературе обозначается через , в русской . В статистике часто используют обозначение .

Определение[]

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению,  — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается .

Основные формулы для математического ожидания[]

  • Если  — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:
.

Математическое ожидание дискретного распределения[]

,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

.

Математическое ожидание целочисленной величины[]

  • Если  — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности

как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то и мы будем писать

Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией свойством: при . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения[]

.

Математическое ожидание случайного вектора[]

Пусть  — случайный вектор. Тогда по определению

,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины[]

Пусть  — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

,

если имеет дискретное распределение;

,

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение случайной величины общего вида, то

.

В специальном случае, когда , Математическое ожидание называется -тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания[]

  • Математическое ожидание линейно, то есть
,
где  — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а  — произвольные константы;
  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если почти наверное, и  — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того
;
  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверное, то
.
  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
.

Дополнительные свойства математического ожидания[]

Примеры[]

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

  • Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где . Тогда её плотность имеет вид и математическое ожидание равно
.
,

то есть математическое ожидание не определено.

См. также[]

Литература[]

  • В.Феллер Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Под ред. Е. Б. Дынкина. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.




Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Математическое ожидание. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Advertisement