Virtual Laboratory Wiki
Advertisement

Лагранжиа́н - вспомогательная функция, применяемая при решении задач математического программирования, в частности линейного программирования. Образуется путем прибавления к целевой функции скалярного произведения двух векторов: вектора разностей между константами ограничений и функциями ограничений и вектора (неизвестных) множителей, называемых множителями Лагранжа:

где — лагранжиан; — целевая функция; (i = 1, 2, ..., k) — множители Лагранжа; k — число ограничений gi (x).

Часто величину bi полагают равной нулю; иногда знак (+) перед ∑ заменяют на (–), но при этом множители λ получаются тоже с обратным знаком. Все эти варианты эквивалентны.

Существует ряд вычислительных алгоритмов решения задач математического программирования методом Лагранжа (см. также Куна—Таккера условия).


Функция Лагранжа динамической системы, названа в честь Жозефа Луи Лагранжа, является функцией динамических переменных и описывает уравнения движения системы. Уравнения движения в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как

где действиефункционал

обозначает множество параметров системы.

Уравнения движения, полученные посредством функциональной производной, идентичны обычным уравнениям Эйлера-Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения движения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы. Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной Модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике. Также к ним относятся чисто математические проблемы, такие как уравнения геодезических и проблема Плато.

Пример из классической механики

Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде

где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, радиус-вектор частицы, m — её масса и V — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера-Лагранжа будет: , где градиент.

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу F в терминах потенциала , тогда мы получим уравнение , которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению , которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со сферическими координатами r, θ, φ с лагранжианом

можно получить следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля

В теории поля сделано различие между лагранжианом L, действие которого задаётся интегралом по времени

и плотностью лагранжиана , которую нужно интегрировать по всему фазовому пространству:

Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана. Однако в последнее время плотность лагранжиана часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Оба определения лагранжиана можно получить в специальных случаях общего определения, зависящих от того, включены пространственные переменные в индекс i или в параметры s в . Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах . Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.

Электромагнитный лагранжиан

В общем случае лагранжиан в лагранжевой механике равен

где T — кинетическая энергия и V — потенциальная энергия. Для заряженной частицы с массой m, зарядом q и скоростью v, находящейся в электромагнитном поле со скалярным потенциалом φ и векторным потенциалом A, кинетическая энергия задаётся выражением

а обобщенная (зависящая и от скоростей) потенциальная энергия:

где cскорость света. Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

Лагранжиан квантовой теории поля

Лагранжиан квантовой электродинамики

Плотность лагранжиана для КЭД

где ψ — биспинор, — его дираковское сопряжение, тензор электромагнитного поля, Dкалибровочная ковариантная производная, и — обозначение Фейнмана для .

Лагранжиан Дирака

Плотность лагранжиана для дираковского поля

.

Лагранжиан квантовой хромодинамики

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики [1] [2] [3]

где — калибровочная ковариантная производная КХД, и — тензор напряжённости глюонного поля.


Ссылки


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Лагранжиан. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Advertisement