Virtual Laboratory Wiki
Advertisement

Комплексные чи́сла[1] — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и  — вещественные числа,  — мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению .

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена .

Стандартная модель

Формально, комплексное число  — это упорядоченная пара вещественных чисел с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

Вещественные числа представлены в этой модели парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Мнимая единица в такой системе представляется парой .

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа и при этом сохранив обычные свойства порядка, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

, мнимой единице —

Замечания

  • Ошибочно определение числа как единственного числа, удовлетворяющего уравнению , так как число также удовлетворяет этому уравнению.
  • Следует также заметить, что часто используемое выражение не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

Действия над комплексными числами

  • Сравнение
    означает, что и .
  • Сложение
  • Вычитание
  • Умножение
  • Деление

Связанные определения

Комплексная переменная обычно обозначается . Пусть и суть вещественные числа, такие, что . Тогда

  • Числа или и или называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями .
    • Если , то называется мнимым или чисто мнимым.
  • Число называется модулем числа . Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной. Некоторые свойства модуля:
    , причём тогда и только тогда, когда
    (неравенство треугольника)
  • Угол такой, что: и , называется аргументом . Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до , где  — любое целое число.

Сопряжённые числа

Если комплексное число , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к .

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

  • (сопряжённое к сопряжённому есть исходное)

Обобщение: , где  — произвольный комплексный многочлен.

  • (модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного)

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел может быть вычислена непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, с учётом тождества .

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (, ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

.

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера

,

где  — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Геометрическое представление

Файл:Complex number illustration.svg

Геометрическое представление комплексного числа

Файл:Complex number.svg

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами и (или её радиус-вектор, что то же самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки. Такая плоскость называется комплексной.

Отметим, что для пары комплексных чисел и модуль их разности равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Файл:Complex conjugate picture.svg

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Сопряжённые комплексные числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний.

Формула Муавра

Эта формула позволяет возводить в степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

,

где  — модуль, а  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:



Отметим, что корни n-ой степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. Геометрически, как видно из формулы, все эти корни располагаются на одной окружности радиуса , деля её на n равных частей.

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».[2]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя ([[::en:Caspar Wessel|англ.]]), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы (Аргана (фр.)), повторявшей независимо выводы Весселя.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Функции комплексного переменного

Основная статья: Комплексная функция


  • Гамма-функция
  • Гиперболические функции
  • Дзета-функция Римана
  • Комплексный анализ
  • Комплексный логарифм
  • Показательная функция
  • Степенная функция
  • W-функция Ламберта

См. также

  • Кватернионы
  • Гиперкомплексные числа — конечномерные алгебры над полем вещественных чисел.
  • Комплексная функция
  • Комплексный анализ

Примечания

  1. В слове комплексный, согласно большинству словарей, допускается вариативное ударение: ко́мплексный или компле́ксный. См ГРАМОТА.РУ. Словарь «Русское словесное ударение» М. В. Зарва даёт только один вариант: ко́мплексный.
  2. Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 139.

Ссылки



eml:Nómmer cumplês


Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Комплексное число. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Advertisement