Коммутатор операторов

Коммутатором операторов ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ в алгебре, а также квантовой механике называется оператор $[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$. В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные).

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Коммутатор в квантовой механике

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора ${\hat {F}}$ физической величины $f$ на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определенное значение, соответствуют собственным векторам ${\hat {F}}$, при этом значение величины в даном состоянии - это собственное число вектора чистого состояния:

${\hat {F}}{\mathcal {j}}\psi {\mathcal {i}}=f{\mathcal {j}}\psi {\mathcal {i}}$

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определенное значение, т.е. множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

${\hat {F}}{\hat {G}}{\mathcal {j}}\psi {\mathcal {i}}=g{\hat {F}}{\mathcal {j}}\psi {\mathcal {i}}=gf{\mathcal {j}}\psi {\mathcal {i}}={\hat {G}}{\hat {F}}{\mathcal {j}}\psi {\mathcal {i}}$

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определенного значения. Типичный пример - операторы импульса ${\hat {p}}=\imath \hbar {\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}}}$ и координат ${\hat {r}}={\vec {r}}$ (см. соотношение неопределенностей).

Законы сохранения

Собственные значения гамильтониана квантовой системы - это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

$\imath \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\mathcal {\hat {H}}}\psi$

и определения полной производной оператора по времени

${\dot {\hat {f}}}={\hat {\dot {f}}}$

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

${\dot {\hat {f}}}=[{\mathcal {\hat {H}}},{\hat {f}}]$

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение явлется квантовым аналогом тождества

${\dot {f}}={\mathcal {f}}H,f{\mathcal {g}}$

из классической механики, где {,} - скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определенных симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определенных симметриях простанства кладется в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

${\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{i},{\hat {l}}_{i}$ - оператор i-ой компоненты, соответсвенно, радиус-вектора, импульса и момента импульса, измеренного в единицах $\hbar$. $\delta _{ij}$ - дельта Кронекера. $e_{ijk}$ - абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

$[{\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=-\imath \hbar \delta _{ij}$

$[{\hat {p}},f({\vec {r}})]=-\imath \hbar \nabla f$

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=\imath e_{ijk}{\hat {r}}_{k}$

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=\imath e_{ijk}{\hat {p}}_{k}$

$[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}]=\imath e_{ijk}{\hat {l}}_{k}$

$[{\hat {l}}^{2},{\hat {l}}_{i}]=0$

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с ее координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5

См. также

• Алгебра Ли
• Теория операторов
• Поле Киллинга

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Коммутатор операторов. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---