Ковариа́ция в теории вероятностей — это мера линейной зависимости случайных величин .
Определение [ ] Пусть
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
вероятностном пространстве . Тогда их ковариация определяется следующим образом:
c
o
v
(
X
,
Y
)
=
E
[
(
X
−
E
X
)
(
Y
−
E
Y
)
]
{\displaystyle \mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E} \left[(X - \mathbb{E}X) (Y - \mathbb{E}Y)\right]}
в предположении, что все математические ожидания
E
{\displaystyle E}
Замечания [ ] Если
X
,
Y
∈
L
2
{\displaystyle X,Y\in L^2}
момент , то ковариация определена и конечна.
В гильбертовом пространстве несмещённых случайных величин с конечным вторым моментом
L
0
2
≡
{
X
∈
L
2
∣
E
X
=
0
}
{\displaystyle L^2_0 \equiv \{X \in L^2 \mid \mathbb{E}X = 0 \}}
c
o
v
(
X
,
Y
)
=
E
[
X
Y
]
{\displaystyle \mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY]}
скалярного произведения . Свойства ковариации [ ]
c
o
v
(
X
,
Y
)
=
c
o
v
(
Y
,
X
)
{\displaystyle \mathrm{cov}(X,Y) = \mathrm{cov}(Y,X)}
В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как
c
o
v
(
X
,
Y
)
=
E
[
X
Y
−
X
E
Y
−
Y
E
X
+
E
X
E
Y
]
=
E
[
X
Y
]
−
E
X
E
Y
−
E
X
E
Y
+
E
X
E
Y
=
E
[
X
Y
]
−
E
X
E
Y
{\displaystyle \mathrm {cov} (X,Y)=\mathbb {E} \left[XY-X\mathbb {E} Y-Y\mathbb {E} X+\mathbb {E} X\mathbb {E} Y\right]=\mathbb {E} \left[XY\right]-\mathbb {E} X\mathbb {E} Y-\mathbb {E} X\mathbb {E} Y+\mathbb {E} X\mathbb {E} Y=\mathbb {E} \left[XY\right]-\mathbb {E} X\mathbb {E} Y}
Пусть
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_1,\ldots ,X_n}
Y
1
=
∑
i
=
1
n
a
i
X
i
,
Y
2
=
∑
j
=
1
m
b
j
X
j
{\displaystyle Y_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i,\; Y_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j X_j}
линейные комбинации . Тогда
c
o
v
(
Y
1
,
Y
2
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
a
i
b
j
c
o
v
(
X
i
,
X
j
)
{\displaystyle \mathrm{cov}(Y_1,Y_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j \mathrm{cov}(X_i,X_j)}
В частности ковариация (в отличие от коэффициента корреляции ) не инвариантна относительно смены масштаба, что не всегда удобно в приложениях. Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии :
c
o
v
(
X
,
X
)
=
D
[
X
]
{\displaystyle \mathrm{cov}(X,X) = \mathrm{D}[X]}
Если
X
,
Y
{\displaystyle X, Y}
c
o
v
(
X
,
Y
)
=
0
{\displaystyle \mathrm{cov}(X,Y) = 0}
Обратное, вообще говоря, неверно. если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию
⟨
X
,
Y
⟩
=
c
o
v
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \langle X, Y \rangle = \mathrm{cov}(X, Y)}
дисперсии
‖
X
‖
=
D
[
X
]
{\displaystyle \|X\|=\mathrm {D} [X]}
Неравенство Коши — Буняковского запишется в виде:
c
o
v
2
(
X
,
Y
)
⩽
D
[
X
]
⋅
D
[
Y
]
{\displaystyle \mathrm {cov} ^{2}(X,Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y]}
См. также [ ]
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке Ковариация . Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок CC-BY-SA .
![{\displaystyle \mathrm {cov} (X,Y)=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/e94b09cf590760669ee4da3518d107def09b0e92)
![{\displaystyle \mathrm {cov} (X,Y)=\mathbb {E} [XY]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/83a5263570e3edca03dbec5a2f6f54c5e0adfe08)
![{\displaystyle \mathrm {cov} (X,Y)=\mathbb {E} \left[XY-X\mathbb {E} Y-Y\mathbb {E} X+\mathbb {E} X\mathbb {E} Y\right]=\mathbb {E} \left[XY\right]-\mathbb {E} X\mathbb {E} Y-\mathbb {E} X\mathbb {E} Y+\mathbb {E} X\mathbb {E} Y=\mathbb {E} \left[XY\right]-\mathbb {E} X\mathbb {E} Y}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/db115f6889d2de139a9d79344371bcea57397101)
![{\displaystyle \mathrm {cov} (X,X)=\mathrm {D} [X]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/4bfa8c2f37ddfd20aff84dcba4c405237bd658b8)
![{\displaystyle \|X\|=\mathrm {D} [X]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/e26f230a7df8f841f6c147df4794cd3709544bcc)
![{\displaystyle \mathrm {cov} ^{2}(X,Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/d32ca1c34dfb9a35236b930dd23286b04219aa29)