Кватернион

Кватернио́ны (англ. Quaternion) — это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году.

Умножение кватернионов не коммутативно; они образуют тело, которое обычно обозначается $\mathbb{H}$.

Кватернионы очень удобны для описания изометрий трёхмерного и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики.

Определения

Вектор-скаляр

Кватернион представляет собой пару $(a,{\vec {u}})$ где $\vec{u}$ вектор трёхмерного пространства и $a\,$ скаляр, т. е. вещественное число. Операции сложения определены следующим образом:

$(a,{\vec {u}})+(b,{\vec {v}})=(a+b,{\vec {u}}+{\vec {v}})$

Произведение должно быть дистрибутивно и

$(a,0)(0,{\vec {v}})=(0,{\vec {v}})(a,0)=(0,a{\vec {v}})$

$(a,0)(b,0)=(ab,0)\,$

$(0,{\vec {u}})(0,{\vec {v}})=(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}})$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение и $\times$ векторное произведение. Антикоммутативность векторного произведения в последнем определении влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Матричное

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:

$\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix},$

здесь $\bar \alpha$ и $\bar \beta$ обозначают комплексно-сопряжённые числа к $\,\alpha$ и $\,\beta$.

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:

$\begin{pmatrix} a & -b & -c & -d \\ b & \;\;a & -d & \;\; c \\ c & \;\;d & \;\; a & -b \\ d & -c & \;\; b & \;\; a \end{pmatrix}.$

Стандартное

Кватернионы можно определить как формальную сумму $\,a+bi+cj+dk$ где $\,a,b,c,d$ есть четвёрка вещественных чисел и $\,i, j, k$ «мнимые единицы» с вот такой таблицей умножения:

·	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$\,1$	$\,i$	$\,j$	$\,k$
$i$	$\,i$	$\,-1$	$\,k$	$\,-j$
$j$	$\,j$	$\,-k$	$\,-1$	$\,i$
$k$	$\,k$	$\,j$	$\,-i$	$\,-1$

например $\,ij=k$, a $\,ji=-k$.

Связанные определения

Для кватерниона

$\,q=a+bi+cj+dk$,

кватернион $\,a$ называется скалярной частью $\,q$, а кватернион $\,v=bi+cj+dk$ — векторной частью. Если $\,v=0$ то кватернион называется чисто скалярным, а при $\,a=0$ чисто векторным. Kватернион

$\bar q=a-bi-cj-dk$

называется сопряженным к $\,q$. Также как и для комплексных чисел

$|q|=\sqrt{q\bar q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$

называется модулем $\,q$. Если $\,|q|=1$ то $\,q$ называется единичным кватернионом. Из тождества четырёх квадратов вытекает, что $|p\cdot q|=|p|\cdot |q|$, иными словами кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Кватернионы и повороты пространства

Кватернионы образуют четырёхмерное евклидово пространство. Любой поворот этого пространства относительно $\,0$ может быть записан в виде $q\mapsto \xi q \zeta$, где $\,\xi$ и $\,\zeta$ пара единичных кватернионов, при этом пара $\,(\xi,\zeta)$ определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары $\,(\xi,\zeta)$ и $\,(-\xi,-\zeta)$. В частности из этого следует что группа Ли $SO(\mathbb{R},4)$ поворотов $\mathbb R^{4}$ есть факторгруппа $S^3\times S^3/\mathbb{Z}_2$, где $\,S^3$ обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное евклидово пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно $\,0$ может быть записан в виде $v\mapsto \xi v \bar\xi$, где $\,\xi$ некоторый единичный кватернион. Соответственно, $SO(\mathbb{R},3)=S^3/\mathbb{Z}_2$, в частности $SO(\mathbb{R},3)$ диффеоморфно $\mathbb{R} \mathrm{P}^3$.

Целые кватернионы

Целыми принято называть кватернионы $\,a+bi+cj+dk$ такие, что все $\,a,b,c,d$ — целые или все $a+\frac12,b+\frac12,c+\frac12,d+\frac12$ — целые.

Существует 24 целых единичных кватерниона:

$\pm 1$,$\pm i$, $\pm j$, $\pm k$, $\frac{\pm1\pm i\pm j\pm k}2$,

они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра. Для целых кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики, то есть любой кватернион может быть записан в виде произведения простых кватернионов (притом единственным образом) по модулю домножения на единицы; например, если $\,q=p_1p_2p_3$, где $\,p_1,p_2,p_3$ — простые, то

$q=(p_1\epsilon_1)(\bar\epsilon_1p_2\epsilon_2)(\bar\epsilon_2p_3)$

также разложение на простые сомножители $\,(p_1\epsilon_1)$, $(\bar\epsilon_1p_2\epsilon_2)$, $(\bar\epsilon_2p_3)$. Забавно то, что в этом разложении порядок простых кватернионов также единственный.

Новые результаты и направления исследований

Кватернионы и Метрика Минковского

Как линейная алгебра над действительными числами, кватернионы образуют действительное векторное пространство, H, снабжённое тензором третьего ранга, S, который иногда называют структурным тензором. Этот единожды контравариантный, дважды ковариантный тензор перерабатывает каждую один-форму, $t$, на H и каждую упорядоченую пару векторов, $(a,b)$ из H в действительное число S$(t,a,b)$. Для любой фиксированной один-формы, $t$, S превращается в дважды ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится внутренним продуктом на H. Поскольку каждое действительное векторное пространство является также действительным линейным многообразием, такой внутренний продукт естественным образом генерирует тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)Евклидовой метрикой на H. В случае кватернионов этот внутренний продукт индефинитен, его сигнатура не зависит от один-формы $t$, а соответствующая псевдо-Евклидова метрика есть метрика Минковского [1]. Эта метрика автоматически продолжается над группой Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман-Леметр-Робертсон-Уолкер) метрику [2] - важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации [3].

Ссылки

• Мищенко А., Соловьев Ю., Кватернионы Квант, N9, 1983.
• Martin John Baker EuclideanSpace.com — сайт с массой полезной информации по 3D графике

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Кватернион. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---