Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным. Геометрически иррациональнoe числo выражает собой длину отрезка, несоизмеримого с отрезком единичной длины. О существовании несоизмеримых отрезков знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .
Множество иррациональных чисел обычно обозначается . Таким образом
- .
Появление понятия иррационального числа связано с дискретностью систем счисления. Т.е. как бы точно мы ни пытались подобрать дробное выражение, сколько бы знаков после запятой ни ставили у десятичной дроби, мы никогда не попадём точно в то место на числовой оси, где находится иррациональное число. Наша оценка будет лежать то справа, то слева от числа.
Свойства[]
- Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
- Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
- Каждое трансцендентное число является иррациональным.
- Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
- Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
- Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Иррациональное число. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .