Изоморфи́зм — всегда задаёт отношение эквивалентности на классе множеств с их структурой.
Объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными», они называются изоморфными.
Понятие изоморфизма возникло в математике применительно к группам и было естественным образом распространено на более широкий класс структур.
Топология грамофонных борозд - преобразуется в музыку. Замечательный пример изоморфизма!
От Хофштадтера Д. в кн. "Гёдель-Эшер-Бах: эта бесконечная гирлянда" [1][]
Термин "изоморфизм" ранее был определен мной как трансформация, сохраняющая информацию. Теперь мы можем далее углубиться в это понятие и рассмотреть его в иной перспективе. Слово "изоморфизм" приложимо к тем случаям, когда две сложные структуры могут быть отображены одна в другой таким образом, что каждой части одной структуры соответствует какая-то часть другой структуры ("соответствие" здесь означает, что эти части выполняют в своих структурах сходные функции). Такое использование слова "изоморфизм" восходит к более точному математическому понятию.
Обнаружить изоморфизм между двумя известными ему структурами — большая радость для математика. Часто это открытие изумительно и неожиданно, как гром с ясного неба. Осознание изоморфизма между двумя хорошо известными структурами — большой шаг вперед по дороге познания, и я считаю, что именно это порождает значения в человеческом мозгу. Для полноты картины заметим, что поскольку изоморфизмы бывают самых различных типов, иногда не совсем ясно, когда же мы в действительности имеем дело с изоморфизмом. Таким образом, слову "изоморфизм", как и вообще всем словам, присуща некая расплывчатость, что является одновременно и достоинством, и недостатком...
Когда вы имеете дело с формальной системой, о которой ничего не знаете и в которой желаете найти скрытое значение, ваша задача — интерпретировать символы таким образом, чтобы установить соответствие между истинными высказываниями и теоремами. Возможно, что сначала вам придется искать наугад, прежде чем вы найдете набор слов, подходящий для ассоциации с символами системы. Эта процедура весьма напоминает попытки расшифровать секретный код или прочитать надпись на незнакомом языке, как, например, критский линейный В: единственный возможный путь состоит в использовании метода проб и ошибок, а также "разумных" догадок. Когда вы найдете правильный, "значащий" вариант, внезапно все приобретает смысл, и работа начинает идти во много раз быстрее. Очень скоро все встает на свои места...
Следует различать два типа интерпретации формальных систем. Во-первых, мы можем говорить о незначащей интерпретации, которая не устанавливает никакой изоморфной связи между теоремами системы и реальностью. Подобных интерпретаций сколько угодно, годится любой случайный выбор.
Другой тип интерпретации может быть назван значащим. В такой интерпретации, теоремы и истины совпадают — то есть, между теоремами и фрагментами реального мира существует изоморфизм. По этой причине мы будем различать интерпретацию и значение.
Поначалу абстрактные символы неизбежно приобретают некое значение, по крайней мере, если мы находим какой-либо изоморфизм. Однако между значением в формальных системах и значением в языке есть важное различие. Различие это заключается в том, что, выучив значение какого-либо слова, мы составляем затем новые предложения, основанные на этом значении. В определенном смысле значение становится активным, так как оно порождает новые правила создания предложений. Это означает, что наше владение языком не является законченным продуктом правил производства предложений становится все больше по мере того, как мы выучиваем новые значения. С другой стороны, в формальных системах теоремы предопределены правилами вывода. Мы можем выбирать "значения", основанные на изоморфизме (если таковой удается найти) между теоремами и истинными утверждениями. Однако это еще не разрешает нам по своему усмотрению прибавлять новые теоремы к уже имеющимся в системе...
В формальной системе значение должно оставаться пассивным; мы можем прочитывать каждую строчку в зависимости от значения символов, ее составляющих, но нам не позволено создавать новые теоремы, основываясь на значениях, которые мы придаем этим символам. Интерпретированные формальные системы находятся на границе между системами без значения и системами со значением.
... По-видимому, приходится заключить, что, структура ДНК содержит информацию о структуре фенотипа — иными словами, эти структуры изоморфны. Это пример экзотического изоморфизма; я имею в виду, что разделить фенотип и генотип на "части", которые могут быть отображены друг в друге — весьма нетривиальная задача. Напротив, прозаическим изоморфизмом являлся бы такой, в котором части двух структур отображались бы друг в друге без труда. Пример тому — изоморфизм между пластинкой и музыкальным произведением - мы знаем, что для каждого звука в произведении существует его точное "изображение" в структуре звуковых дорожек и что, если потребуется, его можно всегда аккуратно указать.
естественно говорить об извлечении музыки из звукозаписи как о "раскрытии" содержащейся в данной записи информации по нескольким причинам:
A) музыка не запрятана в механизмах самого проигрывателя
B) возможно сопоставить части ввода (запись) с частями вывода (музыка) с любой степенью аккуратности,
C) можно проигрывать на одном и том же проигрывателе разные записи и получать различные мелодии;
D) запись и проигрыватель легко отделить друг от друга.
Совершенно другим вопросом является тот, присуще ли значение частям разбитой пластинки. Края разбитой пластинки можно сложить вместе и таким образом восстановить значение — но вопрос здесь гораздо сложнее. Есть ли собственное значение у неразборчивого телефонного разговора?.. Спектр степеней собственных значений весьма широк. Интересно попытаться найти в этом спектре место для эпигенеза. Когда организм развивается, можем ли мы сказать, что информация извлекается из ДНК? Там ли находится вся информация о структуре организма?
Некоторая общая теория, уточняющая понятия изоморфизма( и других близких понятий) была предложена группой Бурбаки в их книге "Теория множеств" (Глава 4. Структуры).
см. Теория графов: Граф называется изоморфным графу , если существует биекция из множества вершин графа в множество вершин графа , обладающая следующим свойством: если в графе есть ребро из вершины в вершину , то в графе должно быть ребро из вершины в вершину и наоборот — если в графе есть ребро из вершины в вершину , то в графе должно быть ребро из вершины в вершину . В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.
