Закон сохранения импульса

Механика сплошных сред

Файл:BernoullisLawDerivationDiagram.svg

Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоэластичность Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил. В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Однако этот закон сохранения верен и в случаях, когда ньютоновская механика неприменима (релятивистская физика, квантовая механика).

Как и любой из законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, — однородность пространства

Вывод из формализма Ньютона

Рассмотрим выражение определения силы

$\frac{d\vec p}{dt} = \vec F.$

Перепишем его для системы из N частиц:

$\sum_{n=1}^{N} \frac{\vec{dp_n}}{dt}=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\ \vec{F}_{n,m}, \qquad m\ne n, \qquad\qquad (1)$

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида $\vec {F}_{a,b}$ и $\vec {F}_{b,a}$ будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть $\vec{F}_{a,b} = -\vec{F}_{b,a}.$ Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

$\sum_{n=1}^{N} \frac{d\vec{p}_n}{dt}=0$

или

$\!\qquad \frac {d}{dt}\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=0.$

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

$\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=\overrightarrow {\mathrm{const}} \qquad\!$ (постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Файл:Impuls.png

Точка обрыва зависит от продолжительности действия силы

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса $d\vec {p}$ зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия. Это легко продемонстрировать на примере. Пусть на нити висит шарик массы $M.\!$ Если медленно тянуть за нижнюю нить силой $F,\!$ то обрывается верхняя нить, так как за время действия силы тело успевает приобрести и некоторую скорость (некоторый импульс). Если же резко потянуть за нижнюю нить, она обрывается. Шарик в этом случае продолжает висеть (он не успевает приобрести заметную скорость, поскольку импульс силы $d\vec {p} = \vec {F}dt$ очень мал.

Вывод из формализма Лагранжа

Симметрия в физике
Преобразо- вания	Инвариант- ность	Закон сохранения
↕ трансляции времени	Консервативность	…энергии
↔ трансляции пространства	Однородность	…импульса
○ Вращения	Изотропия	…момента импульса
× Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	инвариантность интервала (и др. скаляров пространства-времени)

Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела $\mathcal L \equiv \mathcal L(q_i, \dot q_i, t),$ зависящую от обобщённых координат $q_i\,,$ обобщённых скоростей $\dot q_i$ и времени t. Здесь точка над q обозначает дифференцирование по времени, $\dot q_i \equiv \frac{\partial q_i}{\partial t}.$ Выберем для рассмотрения прямоугольную декартову систему координат, тогда $q_i=\vec r_a, \ \dot q_i = \vec v_a$ для каждой $\! a$-той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: $\vec r_a \to \vec r_a + \vec{\xi},$ где $\vec{\xi} \equiv \overrightarrow {\mathrm{const}}.$ В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:

$\delta \mathcal L = \sum_{a}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \vec r_a} \delta \vec r_a = \vec{\xi}\ \sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a},$

где сумирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, то вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: $\partial \mathcal L =0.$ С учётом того, что вектор $\vec \xi$ — произвольный, последнее требование выполняется при:

$\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}=0.$

Воспользуемся уравнением Лагранжа $\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=0:$

$\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a} = \sum_{a}\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \frac{d}{dt}\sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = 0 .$

Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:

$\vec P = \sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \overrightarrow {\mathrm{const}}.$.

Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: $\mathcal L = \frac{mv^2}{2},$ нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:

$\vec P = \sum_a m_a \vec v_a = \overrightarrow {\mathrm{const}}.$

В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса.

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Закон сохранения импульса. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---