Закон Рэлея — Джинса

Закон Релея — Джинса — закон излучения Рэлея — Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела $u(\omega, T)$ и для испускательной способности абсолютно чёрного тела $f(\omega ,T)$ который получили Релей и Джинс, в рамках классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы.

Вывод формулы

Файл:Blackbody-lg.png

Зависимость испускательной способности абсолютно черного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Релея и Джинса (черный цвет)

Основываясь на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей kT. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

$\mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{2\pi ^{2}v^{3}}}\qquad \qquad (1)$.

В нашем случае скорость $v$ следует положить равной $c$, более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) в добавок следует помножить на два:

$\mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}\qquad \qquad (2)$.

Итак, Релей и Джинс, каждому колебанию приписали энергию $\overline{\varepsilon}=kT$. Помножив (2) на ${\overline {\varepsilon }}$,получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот $\mathrm {d} \omega$:

$u(\omega ,T)\mathrm {d} \omega ={\overline {\varepsilon }}\mathrm {d} n_{\omega }=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\mathrm {d} \omega$,

тогда самоочевидно:

$u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\qquad \qquad (3)$.

Зная связь испускательной способности абсолютно черного тела $f(\omega ,T)$ с равновесной плотностью энергией теплового излучения $f(\omega ,T)={\frac {c}{4}}u(\omega ,T)$, для $f(\omega ,T)$ находим:

$f(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}\qquad \qquad (4)$

Выражения (3) и (4), называют формулой Релея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы (3) и (4) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того интегрирование (3) по $\omega$ в пределах от 0 до $\infty$ для равновесной плотности энергии $u(T)$ дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях $u(T)$. Однако ошибки в выводе формулы Релея — Джинса, с классической точки зрения — нет. Очевидно несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции $u(\omega, T)$, соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемую формулой Планка.