Единичная система счисления

Уна́рная систе́ма счисле́ния (единичная (разная) система счисления) — положительная суммарная целочисленная система счисления с основанием, равным 1.

В качестве единственной «цифры» используется «1», чёрточка (|), камешек, костяшка счёт, узелок, зарубка и др. Уна́рная систе́ма счисле́ния (единичная (разная) система счисления) — положительная суммарная целочисленная система счисления с основанием, равным 1.

В качестве единственной «цифры» используется «1», чёрточка (|), камешек, костяшка счёт, узелок, зарубка и др.

Единичные непозиционные системы счисления

Единичные системы счисления с весовыми функциями (коэффициентами) f=b независящими от положения цифр являются непозиционными (непоместными). Числа в них могут быть записаны в виде:
$x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2 a_1 a_0)_{1,b}=\sum_{k=0}^{n-1}a_k b$, где:
n - число цифр (единиц),
k - число, порядковый номер цифры (единицы) в числе x_1,b,
a - число, определяющее множество из которого берутся a_k,
a_k - числа из множества a={1} (единицы),
b - число, основание весовой функции,
при b=1 веса всех цифр одинаковые и равны «1»,
при b≠1 веса всех цифр одинаковые и равны b.
Так как весовой коэффициент - b может быть любым, то число единичных непозиционных систем счисления бесконечно. Наибольшее распространение получила единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом равным единице (b=1). В народе иногда применяется единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом равным двум (b=2), при счёте па́рами.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания весового коэффициента - b, который определяет диапазон представляемых числами x_1,b величин, и равно числу размещений с повторениями:
$\bar{A}(a,n)=\bar{A}_a^n=a^n=1^n=1$, где:
a=1 - одноэлементное множество a={1} из которого берутся цифры a_k, n - число элементов (цифр) в числе x_1,b. Из этого следует, что вышеприведённая запись для фиксированного числа разрядов - n определяет одно число.
Сумма таких записей с числом разрядов n от 1 до n определяет n единичных чисел.

Единичная непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом

Целые числа записываются в виде:
$x_1=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2 a_1 a_0)_1=\sum_{k=0}^{n-1}a_k$, где:
a_k - единицы.

Особенностью такой системы является то, что если приписать к числу одну «цифру» (единицу), то число увеличивается лишь на эту единицу.
(Для сравнения: если в обычной десятичной системе счисления к натуральному числу приписать справа 1, число увеличивается сразу в 10 раз — и плюс 1).

Поэтому такая система записи чисел обычно применяется там, где идёт последовательное увеличение подсчитываемой величины, например: при счёте числа дней, количества одинаковых событий и т. п.

Вероятно, подобная система является древнейшей системой счисления в истории человечества, для примера можно привести Московский математический папирус, датируемый приблизительно 1850 до н. э.

Дробные числа записываются в виде дроби из двух целых чисел:
$x_1=(a1_{n-1}a1_{n-2}...a1_1a1_0/a2_{m-1}a2_{m-2}...a2_{1}a2_{0})_1=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}a1_k}{\sum_{k=0}^{m-1}a2_k}$, где:
n - число цифр числителя (a1) дробного числа x₁,
m - число цифр знаменателя (a2) дробного числа x₁.

Примеры использования

0:

5: ||||| (иногда $\angle\!\!\!\!\Box$ )

7: ||||| || или |||| ||

Применение

• в первом классе начальной школы
• при подсчёте голосов на выборах в малых группах людей
• в коллективных хозяйствах (для учёта трудодней)
• в телефонных центрах (для подсчёта количества отработанных вызовов)
• в тюрьмах и при отбывании воинской повинности (для подсчёта числа дней)
• Робинзоном Крузо для ведения календаря на необитаемом острове
• в домино при подсчёте очков
• Единичное кодирование
• Коды Голомба
• Машина Тьюринга
• в цифровой электронике одной унарной единице соответствует один инвертор с логикой на входе
• в дешифраторах
• в счётах, внутри одного разряда
• при фальсификации диагонального метода Кантора
• в вавилонской системе счисления применялось единичное кодирование десятичных цифр внутри шестидесятиричных разрядов

Единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование

Подобно двоично-десятичному кодированию, в обычной десятичной системе счисления внутри каждого разряда возможно единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование, в котором каждой арабской цифре от "0" до "9" соответствует свой единичный (унарный) код от "" до "111111111".

Единичнодвоичное (унарнодвоичное) кодирование

В обычной двоичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно использование единичнодвоичного (унарнодвоичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от "0" до "1" соответствует свой единичный (унарный) код от "" до "1".

Единичнотроичное (унарнотроичное) кодирование

В обычной троичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичнотроичного (унарнотроичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от "0" до "2" соответствует свой единичный (унарный) код от "" до "11".

Единичночетверичное (унарночетверичное) кодирование

В обычной четверичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичночетверичного (унарночетверичного) кодирования, в которой каждой арабской цифре от "0" до "3" соответствует свой единичный (унарный) код от "" до "111".

Единичные позиционные системы счисления

Если весовые коэффициенты b зависят от положения цифр (единиц) (b(k)=f(k)), то единичная система счисления является поместной (позиционной). Целое число в ней может быть записано в виде:
$x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2a_1a_0)_{1,b}=\sum_{k=0}^{n-1}a_k b_k$, где:

b_k=f(k) - числа весовой функции, весовые коэффициенты, зависящие от места (номера) цифры (единицы) в числе x_1,b.
Пример: при b_k=(k+1)
число 1₁ = 1*1 = 1₁₀,
число 11₁ = 1*2 + 1*1 = 3₁₀,
число 111₁ = 1*3 + 1*2 + 1*1 = 6₁₀,
число 1111₁ = 1*4 + 1*3 + 1*2 + 1*1 = 10₁₀.

При b_k=f(k)=1 единичная система счисления может рассматриваться и как вырожденная поместная (позиционная) положительная целочисленная система счисления с основанием равным 1.

При межразрядной функции f(k)=b(k)=b^k образуются сдвоенные единичные показательные системы счисления:
$x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_2a_1a_0)_{1,b}=\sum_{k=0}^{n-1}a_k b^k$, в которых множество a{1}, из которого берутся a_k, равно 1, а основание межразрядной показательной функции не равно 1 (b≠1).
Дробные числа записываются в виде:
$x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0,a_{-1}a_{-2}...a_{-(m-1)}a_{-m})_{1,b}=\sum_{k=m}^{n-1}a_k b^k$, где:
m - число цифр дробной части числа x_1,b.

См. также

• 1 (число)
• Бит
• Трит
• Системы счисления
• Комбинированные системы счисления

Ссылки

• Древняя унарная система счисления
• Последовательность Шаблон:OEIS2C Единичное представление натуральных чисел в On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
• http://www.trinitas.ru/rus/doc/0023/001a/00230030.htm Академия тринитаризма. Никитин А.В. На пути к Машинному Разуму. Круг третий. (Часть 3) 3. Чуть-чуть математики... Единичная система счисления.
• http://www.internet-school.ru/Enc.ashx?item=3772 Интернет-школа ПРОСВЕЩЕНИЕ.RU Раздел: Информатика Статья Единичная система счисления
• http://docs.google.com/Doc?id=d9t2s3t_310dn24bxgs Урок по теме "Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Перевод чисел в десятичную систему счисления" 4. Новый маиериал.
• http://mylearn.ru/kurs/13/525 myLearn.ru Темы курсов "информатика" Системы счисления 1.3. Единичная система
• http://wiki.likt590.ru/doku.php/metodika_prepodavanija_informatiki._06.12.2008_-_27.04.2009:sistemy_schislenija Системы счисления 2. Непозиционные системы счисления 1. Единичная система счисления
• http://saversky.ru/books/matem/posiz.htm Светлана Саверская Непозиционность позиционных систем счисления 3.3. Появление систем счисления
• http://fio.ifmo.ru/archive/group12/c1wu8/ch_01.html Страничка истории Единичная ("палочная") система счисления
• http://club-edu.tambov.ru/vjpusk/vjp108/rabot/31/nepozicss.html Непозиционные системы счисления
• http://www.kamgu.ru/dir/mpi/Seminar9/UG_2-2.htm Н.Д.Угринович Преподавание курса "Информатика и информационные технологии" 2.2. Системы счисления 2.2.1. Непозиционные системы счисления
• http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F Википедия. Унарная система счисления