Гравитационный парадокс

Гравитационный парадокс (парадокс Неймана — Зеелигера) — вывод о том, что ньютоновская теория тяготения приводит, вообще говоря, к бесконечным значениям гравитационного потенциала и тем самым не позволяет однозначно определить абсолютные и относительные значения гравитационного ускорения частиц в бесконечной Вселенной, заполненной бесконечным количеством вещества (например, однородно распределённого). Названа по именам К. Неймана (C. Neumann) и X. Зеелигера, сформулировавших его в 19 в.

В теории тяготения Ньютона гравитационный потенциал φ удовлетворяет уравнению Пуассона:

$\Delta \varphi = 4 \pi G \rho, \qquad\qquad(1)$

где G — гравитационная постоянная, ρ — плотность вещества. Решение уравнения (1) записывается в виде

$\varphi = G \int {\frac {\rho dV}{r}} + C, \qquad\qquad(2)$

где r — расстояние между элементом объёма dV и точкой, в которой определяется потенциал φ, С — произвольная постоянная. Если при $r \to \infty$, $\rho$ убывает быстрее, чем r⁻², то интеграл (2) сходится и потенциал можно определить. Если с увеличением расстояния плотность ρ спадает медленнее, чем r⁻² (например, для однородного распределения материи ρ=const), интеграл (2) расходится. Гравитационное ускорение, создаваемое тяготением вещества, $\vec{a}=\vec{\nabla} \varphi,$ неопределённо (может принимать любые, в том числе и бесконечные, значения в зависимости от способа интегрирования) в том случае, если при $r \to \infty$ плотность спадает медленнее, чем r⁻¹.

Опыт показывает, что в реальной Вселенной тяготение определяется в основном близкими массами и гравитационное влияние далёких масс пренебрежимо мало, то есть гравитационный парадокс отсутствует. Однако в рамках ньютоновской теории тяготения свободные от этого парадокса модели строения Вселенной удавалось построить лишь в предположении весьма специального характера пространственного распределения бесконечной системы масс, для которого средняя плотность вещества во Вселенной была равна нулю. Парадокс является проявлением ограниченности применимости ньютоновской теории тяготения. Эта теория неприменима для сильных гравитационных полей и, в частности, при распределениях бесконечного количества вещества в бесконечном пространстве. В этих случаях необходимо использовать релятивистскую теорию тяготения — общую теорию относительности Эйнштейна, свободную от парадоксов.

Возникновение парадокса в теории тяготения Ньютона связано со следующим. Потенциал φ и его градиент $\vec{\nabla} \varphi$ — ненаблюдаемые величины; наблюдаемыми являются вторые производные потенциала $\frac{d^2 \phi }{dx^i dx^j} \equiv \varphi _{i,j} ,$ через которые выражаются относительные ускорения. Поэтому расходимости и неопределённости в $\varphi$ и $\vec{\nabla} \varphi$ нельзя считать парадоксом. Для определения всех наблюдаемых величин φ_ij теории Ньютона недостаточно: из шести φ_ij только три связаны уравнением (1): $\varphi_{1,1} + \varphi_{2,2} +\varphi_{3,3} = 4 \pi G \rho$. Эту неопределённость в нахождении φ_ij и следует называть гравитационным парадоксом.

Иногда утверждают, что отсутствие гравитационного парадокса в ОТО обусловлено тем, что в этой теории скорость распространения тяготения конечна (уравнения ОТО — гиперболического типа), в отличие от ньютоновской теории (уравнение Пуассона — эллиптическое). Такое объяснение некорректно. Согласно ОТО, со скоростью света распространяется только изменение гравитационного поля. Сама же «кулоновская часть», соответствующая ньютоновскому закону обратных квадратов расстояния, с самого начала простираясь в бесконечность, никуда не распространяется. Математически это выражается в том, что в ОТО начальные данные для решений уравнений поля, задаваемые в некоторый момент времени (t=const), должны удовлетворять системе уравнений, в которую входит и уравнение эллиптического типа, аналогичное уравнению Пуассона ньютоновской теории. В действительности причиной отсутствия гравитационного парадокса в ОТО является самосогласованность уравнений Эйнштейна — то, что уравнения пишутся сразу для наблюдаемых величин и количество уравнений достаточно для определения всех этих величин.

См. также

• Физические парадоксы
• Космологические парадоксы
• Фотометрический парадокс