Virtual Laboratory Wiki
Advertisement

Ги́льбертово простра́нство — особый тип банаховых пространств, обобщение евклидова пространства на бесконечномерный случай.

Гильбертово пространство есть банахово пространство, норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением.

Названо в честь Давида Гильберта.

Связанные определения

  • Наименьшая из мощностей подмножеств гильбертова пространства , для которых замыкание линейной оболочки совпадает с , называется размерностью пространства .

Свойства

  • Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства среди прочих банаховых пространств, является тождество параллелограмма:
    • Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
    • Аналогично, если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
  • Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. В частности,
  • Теорема Рисса: Для любого непрерывного линейного функционала на Гильбертовом пространстве существует единственный вектор такой, что для любого . При этом норма линейного функционала совпадает с нормой вектора :

Примеры

  • Евклидово пространство.
  • Пространство . Его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел , для которых сходится ряд . Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством
    .
  • Пространство измеримых функций с вещественными значениями на отрезке с интегрируемыми по Лебегу квадратами — т. е. таких, что интеграл
определён и конечен. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством
.

Для пространств и над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:

;
.

См. также

Литература

  • Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, Перевод с английского И. Д. Новикова и Т. В. Соколовской; под ред. Р. А. Минлоса. — М.: Издательство «Мир», 1970. — 352 с.
  • Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Гильбертово пространство. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Advertisement