Волновая функция

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение ... Математическая формулировка ... Основа Классическая механика · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Волновая функция · Суперпозиция · Запутанность · Измерение · Неопределённость · Запрет Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннелирование Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга ·Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Картина Шрёдингера · Картина Гейзенберга · Картина взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака Интерпретации Копенгагенская интерпретация · Теория скрытых параметров · Многомировая Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг· Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

Волнова́я фу́нкция (функция состояния, пси-функция, амплитуда вероятности) — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для вероятностного описания состояния квантовомеханической системы. В широком смысле — то же самое, что и вектор состояния.

Вариант названия «амплитуда вероятности» связан со статистической интерпретацией волновой функции: плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени равна квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния.

Физический смысл квадрата модуля волновой функции

Волновая функция $\! \Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)$ зависит от координат (или обобщённых координат) системы и, в общем случае, от времени, и формируется таким образом, чтобы квадрат её модуля $\! \left|\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)\right|^2$ представлял собой плотность вероятности $~\omega$ (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами $\! x_1=x_{01}, x_2=x_{02}, \ldots , x_n=x_{0n}$ в момент времени $~t$:

$~\omega = \frac{dP}{dV} = \left|\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)\right|^2 = \Psi^\ast\Psi$.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией $\! \Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)$, можно рассчитать вероятность $~P$ того, что частица будет обнаружена в любой области пространства конечного объема $~ V$: $P={\int{dP}}={\int\limits_{V} {\omega}dV}={\int\limits_{V}{\Psi^\ast\Psi}dV}$     $~(1)$.

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полный набор физических величин, которые можно измерить в системе. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов величин, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор величин определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

Принцип суперпозиции квантовых состояний

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями $\! \Psi_1$ и $\! \Psi_2$, то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

$\! \Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2$ при любых комплексных $\! c_1$ и $\! c_2$.

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией $\! \Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 + \ldots + {c}_N{\Psi}_N=\sum_{n=1}^{N} {c}_n{\Psi}_n$.

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента $~{c}_n$ определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией $~{\Psi}_n$.

Поэтому для нормированных волновых функций $~\sum_{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^2=1$. См. также Квантовая суперпозиция.

Условия регулярности волновой функции

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл $~(1)$ станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.
3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции $~\frac{\partial \Psi}{\partial x}$, $~\frac{\partial \Psi}{\partial y}$, $~\frac{\partial \Psi}{\partial z}$. Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.

Свойства волновой функции

Отметим свойства волновой функции $\! \Psi$ в частном случае трёхмерного пространства в декартовых координатах. В этом случае $\! \Psi$ зависит от трёх переменных $\! x, y, z$ и имеет следующие свойства (справедливо только для таких волновых функций, которые являются решением уравнения Шредингера):

1. Правило нормировки:
   ${\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty} {|\Psi|}^2 dx\,dy\,dz}=1$
   Правило выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией во всем пространстве равна единице.
2. Импульс частицы в каждом из направлений $\! x, y, z$ пропорционален первой производной волновой функции, делённой на саму волновую функцию, а именно
   ${p}_x = -i \hbar {\partial \Psi \over\partial x} / \Psi ;$       $\! {p}_y = -i \hbar {\partial \Psi \over\partial y} / \Psi ;$       ${p}_z = -i \hbar {\partial \Psi \over\partial z} / \Psi ,$
   где $\! {p}_x , \, {p}_y , \, {p}_z$ — проекции импульсов на соответствующие оси координат, $i = \sqrt -1$ — мнимая единица, $\hbar = {h \over 2 \pi}$ — постоянная Планка.
3. Кинетическая энергия частицы $( {p}_x^2 + {p}_y^2 + {p}_z^2 ) / 2 m$ пропорциональна второй производной, или кривизне волновой функции, деленной на эту волновую функцию
   ${E}_K = - {{\hbar}^2 \over 2 m } \left( {{\partial}^2 \Psi \over\partial x^2} + {{\partial}^2 \Psi \over\partial y^2} + {{\partial}^2 \Psi \over\partial z^2} \right) / \Psi$ . См. также Гамильтониан

Матричная и векторная формулировки

Любая функция может быть представлена, как бесконечная таблица из её значений, соответствующих каждому аргументу. Если представить в таком виде волновую функцию, то она станет столбцом координат бесконечномерного вектора в Гильбертовом пространстве, то есть, матрицей.

Одна и та же волновая функция в различных представлениях — будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов.

Функциональная (волновая), матричная и векторная формулировки математически эквивалентны.

Философский смысл волновой функции

Волновая функция представляет собой наиболее полное возможное описание квантовомеханической системы, за исключением, быть может, матрицы плотности, предложенной Л.Д.Ландау, с помощью которой можно описывать системы систем, что невозможно при использовании волновой функции (в случае обычной системы матрица плотности есть тот же квадрат модуля волновой фукнции) скоростей всех её частиц и это описание позволяло описать всё будущее и прошлое системы, то в квантовой механике некоторые параметры описать принципиально невозможно. Согласно квантовой механике, описание системы заканчивается на уровне волновой функции (и матрицы плотности) и только на уровне волновой функции (и матрицы плотности) возможно описать будущее и прошлое системы. Более подробное описание системы, например, с точностью до указания местоположений и скоростей всех её частиц — невозможно, и значения этих параметров оказываются более или менее случайными.

Таким образом, создав квантовую механику, наука дошла до состояния, когда она смогла положить конец многовековому противопоставлению детерминизма и индетерминизма. Современная наука утверждает, в мире сочетаются детерминизм и индетерминизм, и границей между ними служит... матрица плотности или волновая функция?..

Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика, — это проблема самой сути научного метода познания мира. Если представить себе бильярдный стол, закрытый непроницаемой крышкой, и единственным способом исследования вопроса, есть ли на нём бильярдные шары, предположить закатывание в стол других шаров, то мы и получаем ту самую проблему, для решения которой привлечён метод квантовой механики. Пока вброшенный шар проходит сквозь стол без изменения траектории, предсказуемо, мы можем сделать вывод о том, что на траектории шара других шаров нет. Если в результате взаимодействия шаров на столе мы получаем выкатившиеся несколько шаров с различными конечными импульсами и точками, в которых шары покинули стол, то мы можем лишь предполагать о том, каким образом происходило взаимодействие в системе. Если же лузы в бильярдном столе ограничивают возможность шаров покидать стол (энергетический барьер), то система запутывается ещё больше.

Подобный пример с бильярдом очень наглядно демонстрирует те трудности, с которыми сталкиваются исследователи, разрабатывая инструменты квантовой механики.

См. также

• Вектор состояния
• Собственное состояние
• Квантовая механика
• Оператор (физика)
• Уравнение Шрёдингера
• Принцип неопределённости Гейзенберга
• Блоховская волна

Литература

• Физический энциклопедический словарь./Гл. ред. А.М.Прохоров. Ред. кол. Д.М.Алексеев, А.М.Бонч-Бруевич, А.С.Боровик-Романов и др. — М.: Сов. Энциклопедия, 1984. — 944 с., ил., 2л. цв. ил.
• Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика: Учебное пособие. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. — 496 с.: ил. (Физика в техническом университете/Под ред. Л.К.Мартинсона, А.Н.Морозова).

Ссылки

• Большая Советская Энциклопедия: Квантовая механика, Яндекс.Словари
• Физический энциклопедический словарь: Квантовая механика»

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Волновая функция. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---