Вероятностное пространство

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, где

• $\Omega\$ — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
• $\mathcal{F}$ — сигма-алгебра подмножеств $\Omega\$, называемых (случайными) событиями;
• $\mathbb{P}$ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что $\mathbb P(\Omega)=1$.

Замечания

• Элементарные события (элементы $\Omega\$), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
• Каждое случайное событие (элемент $\mathcal{F}$) — это подмножество $\Omega\$. Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие $A\subset \Omega$, если (элементарный) исход эксперимента является элементом $A$.
  Требование, что $\mathcal{F}$ является сигма-алгеброй подмножеств $\Omega\$, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть $\Omega\$ — конечное множество, содержащее $\vert \Omega \vert = n$ элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство всех подмножеств $\Omega\$. Его часто символически обозначают $2^\Omega\$. Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно $2^{\vert \Omega \vert}$, что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

$\mathbb{P}(A) = \frac{n_A}{n}$,

где $A\subset \Omega$, и $\vert A \vert = n_A$ - число элементарных исходов, принадлежащих $A \$.

В частности, вероятность любого элементарного события:

$\mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega.$

Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять $\Omega=\{0,1\}, \mathcal{F} = \{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset\}$ и определить вероятность следующим образом:

$\mathbb{P}(\{0\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{1\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{0,1\}) = 1,\; \mathbb{P}(\emptyset) = 0.$

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Вероятностное пространство. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---