Virtual Laboratory Wiki
Advertisement

В векторном анализе векторный потенциал — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого с обратным знаком равен заданному векторному полю.

Формально, если v — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A такое, что

Если A является векторным потенциалом для поля v, то из тождества

(дивергенция ротора равна нулю) следует

то есть v должно быть соленоидальным векторным полем.

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

Теорема

Пусть

— дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле. Предположим, что v(x) убывает достаточно быстро при ||x||→∞. Определим

Тогда A является векторным потенциалом для v, то есть

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца (англ.), согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.

Неоднозначность

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A является векторным потенциалом для v, также им является

где m — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

Эта неоднозначность даёт дополнительную степень свободы в формулировке электродинамики и решается калибровкой.

Векторный потенциал в физике

Уравнения Максвелла

Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал вводится таким образом, что

(в системе СИ).

При этом уравнение удовлетворяется автоматически.

Подстановка выражения для в

приводит к уравнению

,

согласно которому, так же как и в электростатике вводится скалярный потенциал. Однако теперь в вносят вклад и скалярный и векторный потенциал:

Из уравнения следует

Используя равенство , уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде

Свобода выбора калибровки потенциала

Легко убедиться, что преобразования

где - произвольная функция координат и времени, не изменяют уравнений Максвелла. Для удобства решения этих уравнений накладывают дополнительное искусственное условие, называемое калибровой потенциала. При решении различного класса задач удобнее бывает та или иная калибровка. Широкое распространение получили две -- калибровка Кулона и калибровка Лоренца.

Калибровка Кулона


Калибровка Лоренца

Калибровкой Лоренца называют выражение:

.

В этом случае уравнения переписываются в виде:

Уравнения, записанные в таком виде удобнее использовать для решения нестационарных задач.

См. также

Литература по магнитному векторному потенциалу

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — («Теоретическая физика», том II).
  • Савельев И. В. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Волна. Оптика, 1982, 496 с



Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Векторный потенциал. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .


Advertisement