Векторный потенциал

В векторном анализе векторный потенциал — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого с обратным знаком равен заданному векторному полю.

Формально, если v — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A такое, что

$\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .$

Если A является векторным потенциалом для поля v, то из тождества

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$

(дивергенция ротора равна нулю) следует

$\nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,$

то есть v должно быть соленоидальным векторным полем.

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

Теорема

Пусть

$\mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$

— дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле. Предположим, что v(x) убывает достаточно быстро при ||x||→∞. Определим

$\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d\mathbf {y} .$

Тогда A является векторным потенциалом для v, то есть

$\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .$

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца (англ.), согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.

Неоднозначность

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A является векторным потенциалом для v, также им является

$\mathbf {A} +\nabla m$

где m — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

Эта неоднозначность даёт дополнительную степень свободы в формулировке электродинамики и решается калибровкой.

Векторный потенциал в физике

Уравнения Максвелла

Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал $\mathbf {A}$ вводится таким образом, что

$\mu _{0}\mathbf {H} =\mathbf {B} =\operatorname {rot} \mathbf {A}$ (в системе СИ).

При этом уравнение $\operatorname {div} \mathbf {B} =0$ удовлетворяется автоматически.

Подстановка выражения для $\mathbf {A}$ в

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

приводит к уравнению

$\operatorname {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0$,

согласно которому, так же как и в электростатике вводится скалярный потенциал. Однако теперь в $\mathbf {E}$ вносят вклад и скалярный и векторный потенциал:

$\mathbf {E} =-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

Из уравнения $\operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ следует

$\operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)$

Используя равенство $\operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {grad} \;\operatorname {div} \mathbf {A} -\nabla ^{2}\mathbf {A}$, уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде

$\Delta \mathbf {A} -\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {j}$

$\Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Свобода выбора калибровки потенциала

Легко убедиться, что преобразования

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$

$\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

где $~\psi$ - произвольная функция координат и времени, не изменяют уравнений Максвелла. Для удобства решения этих уравнений накладывают дополнительное искусственное условие, называемое калибровой потенциала. При решении различного класса задач удобнее бывает та или иная калибровка. Широкое распространение получили две -- калибровка Кулона и калибровка Лоренца.

Калибровка Лоренца

Калибровкой Лоренца называют выражение:

$\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$.

В этом случае уравнения переписываются в виде:

$\Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {j}$

$\Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Уравнения, записанные в таком виде удобнее использовать для решения нестационарных задач.

См. также

• Скалярный потенциал
• Основная теорема векторного анализа (англ.)
• Магнитный потенциал (англ.)
• Соленоид

Литература по магнитному векторному потенциалу

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — («Теоретическая физика», том II).

• Савельев И. В. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Волна. Оптика, 1982, 496 с

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Векторный потенциал. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---