Быстрота

Быстрота́ (англ. rapidity) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»).

Быстрота выражается формулой:

$\theta =c\mathrm {Arth} \,{\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}$, где

• $\displaystyle \theta$ — быстрота,
• $\displaystyle v$ — обычная скорость,
• $\displaystyle c$ — скорость света,
• $\displaystyle \mathrm {Arth} \,x$ — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) $\mathrm {Arth} \,x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$ определён в области значений аргумента от −1 до +1; при $x\rightarrow \pm 1$ $\mathrm {Arth} \,x\rightarrow \pm \infty .$ Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от −с до +с меняется от −∞ до +∞. Иногда вводят также параметр быстроты $\varphi \equiv \theta /c\equiv \mathrm {Arth} \,{\frac {v}{c}}$ — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой.

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости: $\theta \approx v\left(1+{\frac {(v/c)^{2}}{3}}\right)$ при $v\ll c.$.

Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или Ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г.А. Лоренца и определяемый как

$\gamma \equiv {\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}.$

Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:

$\gamma =\mathrm {ch} \,\varphi$.

С увеличением скорости от 0 до c Лоренц-фактор γ увеличивается от 1 до +∞.

Аддитивность быстроты

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта K две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна $\displaystyle v_{1}$, а скорость второй относительно первой равна $\displaystyle v'_{2}$ (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе К через $\displaystyle v_{2}$. При малых (по сравнению со скоростью света c) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей $\displaystyle v_{2}=v_{1}+v'_{2}$. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей

$v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+v_{1}v'_{2}/c^{2}}}$

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты $\theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c}}$. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта K равна сумме быстрот:

$\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.$

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

См. также

• Псевдобыстрота
• Лоренцевский буст

Литература

• Бабурова О.В. Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского. Соросовский образовательный журнал, т.8, 2004, с. 77-84 [1].
• Прохоров А. М., Физическая энциклопедия. — М.: Сов. энциклопедия, 1988. — С. 704.

---

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Быстрота. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

---