Virtual Laboratory Wiki
Advertisement

© Андрей Куликов, 2010

Использование этой информации в коммерческих целях запрещенно. Но Вы можете копировать и перерабатывать данную статью в научных и образовательных целях, с последующим предоставлением результата на тех же правах. Для подробной информации см. Авторское право.



Содержание

Одинарные системы счисления

являются простыми (некомбинироваными) позиционными системами счисления. В общем случае могут быть суммы, произведения, возведения в степень и другие функции от функций f(ak),

но наибольшее распространение получили системы счисления с суммированием функций от ak,

n — число разрядов целой части числа,
m — число разрядов дробной части числа, от 0 до бесконечности, при m=0 числа — целые,
k — число от -m до n-1, номер разряда,
a — основание основной внутриразрядной системы счисления,
ak — числа в разрядах из замкнутого множества a, цифры представляемого числа — xa

при f(ak)=ak образуется непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом во всех разрядах,

при f(ak)=akak образуются показательные позиционные системы счисления с основанием a,

при m=0 и ak=1 образуется непозиционная унарная система счисления,

при добавлении межразрядной функции во второй вспомогательной межразрядной системе счисления с основанием bf(b, k), чаще всего в виде сомножителя, но могут быть и другие зависимости, образуются комбинированные сдвоенные системы счисления.

Сдво́енные системы счисления

В комбинированных системах счисления для записи чисел используются две или более систем счисления с разными основаниями. В общем случае возможно бесконечное множество комбинированных систем счисления.

В спаренных (сдвоенных, двойных) системах счисления используются две системы счисления.
В строенных (тройных) системах счисления используются три системы счсления.
В счетверённых (четверных) системах счисления используются четыре системы счисления.

Представляемое число x(a, b) может быть записано в виде строки цифр с разделителями и индексами, что не полностью определяет число x(a, b), так как в такой записи нет весовых коэффициентов — f(b, k), которые подразумеваются, или может быть записано в виде суммы произведений, обозначающей полином, что тоже не полностью определяет число x(a, b), так как в такой записи отсутствуют цифры числа. Объединение обеих записей — строки и суммы полностью определяет число x(a, b), но местами избыточно и плохо вписывается в строку текста.

, где:

b — число, основание вспомогательной межразрядной системы счисления,
f(b, k) — числа межразрядной функции, весовые коэффициенты,
если межрязрядная функция является показательной f(b, k)=bk, то образуются показательные позиционные системы счисления с суммированием

, для которых существует теорема Джона фон Неймана о экономичности позиционных показательных (a,b)-ичных систем счисления[1],

при m=0 образуются целые числа:

, которые являются частями степенного ряда (число есмь ряд):

в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца , а верхний предел ограничен с до числа цифр в числе - n-1,

если межразрядная функция не зависит от номера разряда — k, f(b, k)=f(b), то образуются одинарные (простые, несдвоенные) непозиционные системы счисления,

если основание множества a, из которого берутся ak, равно основанию межразрядной системы счисления b, то образуются (a,a)-ичные системы счисления, которые часто называют b-ричными системами счисления.

Сдвоенные позиционные показательные двоичные системы счисления

при ak из a={0,1} и b=2 образуется (2,2)-ичная (обычная) двоичная система счисления:

, при m=0 образуются целые (2,2)-ичные (обычные двоичные) числа:

,

которые являются частичными (частными) суммами степенного ряда:

в котором коэффициенты an берутся из кольца R=a={0,1}, X=2, n=k, а верхний предел в частных суммах ограничен с до n-1.

Число представимых чисел в позиционных системах счисления

z=n*a - число знаков, используемых для записи чисел (в трёхразрядном десятичном числе z=3*10=30 знаков),
a - внутриразрядное число цифр, внутриразрядное основание системы счисления, определяет число представимых чисел,
n = z/a - число разрядов,
b - основание межразрядной функции, чаще всего показательной функции, вместе с функцией определяет диапазон представимых чисел.

Из комбинаторного анализа известно, что число представимых чисел равно числу размещений с повторениями, т.е. от основания межразрядной функции - b и вида межразрядной функции f(k)=b(k) не зависит:
,
натуральный логарифм числа представимых чисел:
.

Удельное натуральнологарифмическое число представимых чисел

.

Зависимость удельного натуральнологарифмического числа представимых чисел от основания a позиционной системы счисления.

Необходимыми условиями существования экстремума функции являются существование первой производной и её равенство нулю. Первая производная функции равна , т.е. существует. Приравняв её нулю , , , получим .
Достаточными условиями существования локального максимума являются и . Так как слева от точки a=e производная положительная, а справа отрицательная, то, в точке a=е=2,71... функция действительно имеет строгий локальный максимум.
Из формулы и графика следует, что:
1. наибольшим удельным натуральнологарифмическим числом представимых чисел обладают системы счисления с внутриразрядным основанием - a=e=2,71...,
2. из целочисленных систем счисления наибольшим удельным натуральнологарифмическим числом представимых чисел обладают системы счисления с основанием a=3, системы счисления с основаниями a=2 и a=4 делят второе место.
3. при дальнейшем увеличении основания a системы счисления (более 4) удельное натуральнологарифмическое число представимых чисел ещё более уменьшается.

Плотность записи чисел в позиционных системах счисления

Если число представимых чисел от основания весовой функции - b и вида весовой функции - f(k)=b(k) не зависит, то диапазон представимых чисел и плотность записи чисел зависят и от основания весовой функции - b и от вида весовой функции - f(k)=b(k).

Сдвоенные позиционные показательные е-ричные системы счисления

Из показательных позиционных систем счисления наибольшим удельным натуральнологарифмическим числом представимых чисел обладают (e,b)-ричные системы счисления с основанием равным числу Эйлера (е=2,71…).[1](§ 14. Об одном замечательном свойстве троичной системы. Стр.37-40.)

Применение (e,b)-ричных систем счисления в настоящее время затруднительно из-за отсутствия триггеров с нецелочисленным числом устойчивых состояний, но на целочисленных эвм возможно применение комбинированных (2,e)-ричной, (3,e)-ричной, (10,e)-ричной и других (a,е)-ричных систем счисления.
При ak из a={0,1} и b=е=2,71… образуется (2,e)-ричная система счисления:

(2,е)-ричная система счисления хорошо подходит для вычислений в (2,е)-ричной системе счисления на двоичных эвм,
при m=0 образуются "(2,е)-целые" числа:

, которые являются частями (частичными суммами или частными суммами [2](стр.533)) степенного ряда (так как число Эйлера является суммой ряда , то (2,е)-ричное число есмь ряд рядов):
,

в котором коэффициенты берутся из кольца R={0,1}, X=e, n=k, а верхний предел ограничен с до числа цифр в числе - n-1. Частные суммы являются суммами k-тых степеней числа Эйлера е=2,71... без членов, в которых ak=0.

при аk из a={0,1,2} и b=е=2,71… образуется (3,e)-ричная система счисления

(3,e)-ричная система счисления хорошо подходит для вычислений в (3,е)-ричной системе счисления на троичных эвм,

при ak из a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и b=e=2,71… образуется (10,e)-ричная система счисления

(10,е)-ричная система хорошо подходит для вычислений в (10,е)-ричной системе счисления на эвм имеющих десятичную арифметику.

Перевод десятичных чисел в (2,е)-ричные числа

Перевод кратных е десятичных чисел ((2,e)-целых) в (2,e)-ричные числа ((2,e)-целые). 2,71...10,1010,10=12,e
5,44...10,10=2e10,10=102,e
8,15...10,10=3e10,10=112,e
...
27,1...10,10=10e10,10=10102,e
...
271,...10,10=100e10,10=11001002,e
...

Перевод (2,е)-ричных чисел в десятичные числа

Перевод (2,e)-целых чисел ((2,e)-целых) в десятичные дробные числа кратные e.
12,e=e10,10=2,71...10,10
102,e=2e10,10=5,44...10,10
112,e=3e10,10=8,15...10,10
...
10102,e=10e10,10=27,1...10,10
...
11001002,e=100e10,10=271,...10,10
...

Перевод дробных (2,e)-чисел в десятичные дробные числа.

Перевод двоичных чисел в (2,е)-ричные числа

Перевод (2,е)-ричных чисел в двоичные числа

Перевод троичных чисел в (2,е)-ричные числа

Перевод (2,е)-ричных чисел в троичные числа

Сдвоенные позиционные показательные троичные системы счисления

при ak из a={0,1,2} и b=3 образуется (3,3)-ичная (обычная) троичная система счисления

Сдвоенные позиционные показательные десятичные системы счисления

при ak из a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и b=10 образуется (10,10)-ичная (обычная) десятичная система счисления

Стро́енные показательные системы счисления

Частным случаем комбинированных систем счисления являются строенные показательные позиционные системы счисления с дополнительными весовыми коэффициентами разрядов, в которых используются три системы счисления:

  1. внутриразрядная система с числами ak, цифры которой используются для кодирования цифр внутри разрядов,
  2. межразрядная система счисления с основанием b и
  3. дополнительная система счисления с основанием c, например, в дополнительном сомножителе (b/c) в весовом коэффициенте разряда,
, где:


  • n — число разрядов целой части числа,
  • m — число разрядов дробной части числа.
  • k — номер разряда,
  • a — основание основной внутриразрядной системы счисления,
  • ak — цифры внутриразрядной системы счисления в числовых разрядах,
  • b — основание межразрядной системы счисления,
  • c — основание дополнительной системы счисления, в общем случае c≠b, при целом c образуются комбинированные (a, b,c)-ричные системы счисления, при c=b образуются обычные (a, b)-ричные позиционные системы счисления,


Стро́енные позиционные показательные e-ричные системы счисления

Числа x, кратные e/c, в (a,e,c)-ричных показательных позиционных системах счисления представляются в виде конечной линейной комбинации произведений степеней числа eе/c-целые») на дополнительные весовые коэффициенты (е/с):

, где:

ek — основной весовой коэффициент разрядов,
c — основание вспомогательной системы счисления, число цифр используемых для записи одного (a,е,c)-ричного разряда,
(e/c) — дополнительный весовой коэффициент разрядов,
ak(a,e,c)-ричные цифры, которые
в (a,е,2)-ричной системе счисления могут принимать только два значения: 0 или 1 с весами цифр 0*е/2 и 1*е/2;
в (a,e,3)-ричной системе счисления могут принимать три значения: 0, 1 и 2 с весами цифр 0*е/3, 1*e/3 и 2*е/3;
в (a,e,10)-ричной системе счисления могут принимать десять значений: от 0 до 9 с весами цифр 0*е/10, 1*e/10, 2*e/10, 3*e/10, 4*e/10, 5*e/10, 6*e/10, 7*e/10, 8*e/10 и 9*e/10.
Числа , некратные e/c, представляются в виде «е/c-дробных» чисел:

, где:

m — число знаков «е/с-дробной» части числа (справа от запятой).

(a,е,2)-ричная система счисления хорошо подходит для вычислений в е-ричной системе счисления на двоичных ЭВМ.
(a,e,3)-ричная система счисления хорошо подходит для вычислений в е-ричной системе счисления на троичных ЭВМ.
(a,е,10)-ричная система хорошо подходит для вычислений в е-ричной системе счисления на ЭВМ имеющих десятичную арифметику.
Как можно заметить, в (a,е,c)-ричных системах счисления для записи чисел в разрядах возможны цифры неравные межразрядному основанию системы счисления — е.

Список литературы

Ссылки

(§ 14. Об одном замечательном свойстве троичной системы. Стр.39-40, Рис.4)

См. также

© Андрей Куликов, 2010
Андрей Куликов. Системы счисления. Россия, Москва, Virtual Laboratory Wiki, Wikia science, 2010.

Advertisement